Арифметическая прогрессия: различия между версиями
[непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Нет описания правки |
|||
Строка 1:
{{Значения|Прогрессия}}
'''Арифмети́ческая
: <math>a_1,\ a_1+d,\ a_1+2d,\ \ldots,\ a_1+(n-1)d, \ \ldots</math>,
то есть последовательность чисел ('''членов''' прогрессии), в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа <math>d</math> ('''шага''', или '''разности''' прогрессии):
Строка 7:
: <math>a_n=a_1 + (n-1)d</math>
Арифметическая прогрессия является '''[[монотонная последовательность|
== Свойства ==
Строка 26:
<math>a_4=a_3+d=a_1+2d+d=a_1+3d</math>
<math>a_5=a_4+d=a_1+3d+d=a_1+4d</math>
Заметив закономерность, делаем предположение, что <math>a_n=a_1+(n-1)d</math>. С помощью [[Математическая индукция|математической индукции]] покажем, что предположение верно для всех <math>n \in \mathbb N</math>:
'''База''' индукции <math>(n=1)</math> :
<math>a_1=a_1+(1-1)d=a_1</math> — утверждение истинно.
Строка 77 ⟶ 82 :
Сумма первых <math>n</math> членов арифметической прогрессии <math>S_n=\sum_{i=1}^n a_i=a_1+a_2+ \ldots + a_n</math> может быть найдена по формулам
: <math>S_n=\frac{a_1+a_n}2 \cdot n</math> , где <math>a_1</math> — первый член прогрессии, <math>a_n</math> — член с номером <math>n</math>, <math>n</math> — количество суммируемых членов.
: <math>S_n=\frac{a_1+a_n}2 \cdot (\frac{a_n-a_1}{a_2-a_1}+1)</math>
: <math>S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}2 \cdot n</math> , где <math>a_1</math> — первый член прогрессии, <math>d</math> — разность прогрессии, <math>n</math> — количество суммируемых членов.
{| class="wikitable collapsible collapsed" width=100%
Строка 109 ⟶ 114 :
=== Сходимость арифметической прогрессии ===
Арифметическая прогрессия <math>a_1, a_2, a_3, \ldots</math> расходится при <math>d\ne 0</math> и [[Предел последовательности|сходится]] при <math>d=0</math>. Причём
: <math>\lim_{n\rightarrow\infty} a_n=\left\{ \begin{matrix} +\infty,\ d>0 \\ -\infty,\ d<0 \\ a_1,\ d=0 \end{matrix} \right.</math>
Строка 120 ⟶ 125 :
=== Связь между арифметической и геометрической прогрессиями ===
Пусть <math>a_1, a_2, a_3, \ldots</math> — арифметическая прогрессия с разностью <math>d</math> и число <math>a>0</math>. Тогда последовательность вида <math>a^{a_1}, a^{a_2}, a^{a_3}, \ldots</math> есть [[геометрическая прогрессия]] со знаменателем <math>a^d</math>.
Строка 138 ⟶ 142 :
== Арифметические прогрессии высших порядков ==
Арифметической прогрессией второго порядка называется такая последовательность чисел, что последовательность их разностей сама образует простую арифметическую прогрессию. Примером может служить последовательность квадратов [[Натуральное число|натуральных чисел]]:
Строка 159 ⟶ 162 :
: <math>\sum_{i=1}^n i=1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}2</math>
== Формула для разности ==
Если известны два члена арифметической прогрессии, а также их номера в ней, то можно найти разность как
: <math>\mathit{d=\frac{a_m-a_n}{m-n}}</math>.▼
▲<math>\mathit{d=\frac{a_m-a_n}{m-n}}</math>
== Занимательная история ==
Согласно легенде, школьный учитель математики юного [[Гаусс,
Действительно, легко видеть, что решение сводится к формуле
: <math>\frac{n(n+1)}2</math>
Строка 199 ⟶ 183 :
== Литература ==
* {{книга
| автор = [[Бронштейн, Илья Николаевич|Бронштейн И. Н.]], [[Семендяев, Константин Адольфович|Семендяев К. А.]]
|