Арифметическая прогрессия: различия между версиями

Нет описания правки
{{Значения|Прогрессия}}
'''Арифмети́ческая прогрессияпрогре́ссия''' — [[числовая последовательность]] вида
: <math>a_1,\ a_1+d,\ a_1+2d,\ \ldots,\ a_1+(n-1)d, \ \ldots</math>,
то есть последовательность чисел ('''членов''' прогрессии), в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа <math>d</math> ('''шага''', или '''разности''' прогрессии):
: <math>a_n=a_1 + (n-1)d</math>
 
Арифметическая прогрессия является '''[[монотонная последовательность|'''монотонной последовательностью]]''']]. При <math>d>0</math> она является возрастающей, а при <math>d<0</math> — убывающей. Если <math>d=0</math>, то последовательность будет стационарной. Эти утверждения следуют из соотношения <math>a_{n+1}-a_n=d</math> для членов арифметической прогрессии.
 
== Свойства ==
<math>a_4=a_3+d=a_1+2d+d=a_1+3d</math>
 
<math>a_5=a_4+d=a_1+3d+d=a_1+4d</math>
 
Заметив закономерность, делаем предположение, что <math>a_n=a_1+(n-1)d</math>. С помощью [[Математическая индукция|математической индукции]] покажем, что предположение верно для всех <math>n \in \mathbb N</math>:
 
'''База''' индукции <math>(n=1)</math> :
 
<math>a_1=a_1+(1-1)d=a_1</math> — утверждение истинно.
Сумма первых <math>n</math> членов арифметической прогрессии <math>S_n=\sum_{i=1}^n a_i=a_1+a_2+ \ldots + a_n</math> может быть найдена по формулам
: <math>S_n=\frac{a_1+a_n}2 \cdot n</math> , где <math>a_1</math> — первый член прогрессии, <math>a_n</math> — член с номером <math>n</math>, <math>n</math> — количество суммируемых членов.
: <math>S_n=\frac{a_1+a_n}2 \cdot (\frac{a_n-a_1}{a_2-a_1}+1)</math>   где <math>a_1</math> — первый член прогрессии, <math>a_2</math> — второй член прогрессии <math>, a_n</math> — член с номером <math>n</math>.
: <math>S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}2 \cdot n</math> , где <math>a_1</math> — первый член прогрессии, <math>d</math> — разность прогрессии, <math>n</math> — количество суммируемых членов.
{| class="wikitable collapsible collapsed" width=100%
 
=== Сходимость арифметической прогрессии ===
Арифметическая прогрессия <math>a_1, a_2, a_3, \ldots</math> расходится при <math>d\ne 0</math> и [[Предел последовательности|сходится]] при <math>d=0</math>. Причём
 
: <math>\lim_{n\rightarrow\infty} a_n=\left\{ \begin{matrix} +\infty,\ d>0 \\ -\infty,\ d<0 \\ a_1,\ d=0 \end{matrix} \right.</math>
 
=== Связь между арифметической и геометрической прогрессиями ===
 
Пусть <math>a_1, a_2, a_3, \ldots</math> — арифметическая прогрессия с разностью <math>d</math> и число <math>a>0</math>. Тогда последовательность вида <math>a^{a_1}, a^{a_2}, a^{a_3}, \ldots</math> есть [[геометрическая прогрессия]] со знаменателем <math>a^d</math>.
 
 
== Арифметические прогрессии высших порядков ==
 
Арифметической прогрессией второго порядка называется такая последовательность чисел, что последовательность их разностей сама образует простую арифметическую прогрессию. Примером может служить последовательность квадратов [[Натуральное число|натуральных чисел]]:
 
: <math>\sum_{i=1}^n i=1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}2</math>
 
== Формула для разности ==
== Дополнительные формулы ==
Если известны два члена арифметической прогрессии, а также их номера в ней, то можно найти разность как
 
: <math>\mathit{d=\frac{a_m-a_n}{m-n}}</math>.
=== Нахождение разности <math>\mathit{d}</math> арифметической прогрессии,если известны члены этой прогрессии, отличающиеся на разность их номеров ===
Пусть нам будут известны значения двух членов из некой числовой последовательности,например:
 
<math>\mathit{a_n=\alpha}</math> и <math>\mathit{a_m=\beta}</math> , где <math>\mathit{n} </math> и <math>\mathit{m}</math> - номера членов некой числовой последовательности.
 
Так как члены последовательности не являются соседними,то найдем насколько член <math>\mathit{a_m}</math>опережает <math>\mathit{a_n}</math>на некое количество номеров ,то есть найдем разность этих номеров:
 
<math>\mathit{m-n=k}</math> ,где <math>\mathit{k}</math> - разность номеров двух членов
 
Теперь найдем разность самих членов последовательности:
 
<math>\mathit{a_m-a_n=\beta-\alpha=p}</math> ,где <math>\mathit{p}</math> - разность двух членов
 
Последний шаг - найти частное этих двух разностей,а именно:
 
<math>\mathit{d=\frac{k}{p}}</math> ,где <math>\mathit{d}</math> - разность арифметической прогрессии.
 
В конечном итоге мы получаем формулу:
 
<math>\mathit{d=\frac{a_m-a_n}{m-n}}</math>
 
== Занимательная история ==
Согласно легенде, школьный учитель математики юного [[Гаусс,_Карл_Фридрих Карл Фридрих|Гаусса]], чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат: 5050.
Действительно, легко видеть, что решение сводится к формуле
: <math>\frac{n(n+1)}2</math>
 
== Литература ==
 
* {{книга
| автор = [[Бронштейн, Илья Николаевич|Бронштейн И. Н.]], [[Семендяев, Константин Адольфович|Семендяев К. А.]]