Устойчивость (динамические системы): различия между версиями

м
откат правок Dobrode valera (обс.) к версии Bezik
(отмена правки 105806552 участника Bezik (обс.))
Метка: отмена
м (откат правок Dobrode valera (обс.) к версии Bezik)
Метка: откат
{{стиль}}{{нет преамбулы}}<!-- нет явной дефиниции-->
В [[математика|математике]] решение [[дифференциальные уравнения|дифференциального уравнения]] (или, шире, траектория в [[Фазовое пространство|фазовом пространстве]] точки состояния [[динамическая система|динамической системы]]) называется '''устойчивым''', если поведение решений, с условиями, близкими к начальным, «не сильно отличается» от поведения исходного решения. Слова «не сильно отличается» при этом можно формализовать по-разному, получая разные формальные определения устойчивости: устойчивость по [[Ляпунов, Александр Михайлович|Ляпунову]], асимптотическую устойчивость и т.д. (см. ниже). Обычно рассматривается задача об устойчивости тривиального решения в [[особая точка (дифференциальные уравнения)|особой точке]], поскольку задача об устойчивости произвольной траектории сводится к данной, путём замены неизвестной функции.
[[Файл:4979e03f8a70f821bf51b7ef08bdc437-1000.jpg|мини|[[Ляпунов, Александр Михайлович]] - создатель теории устойчивости]]
 
== Постановка задачи устойчивости [[Динамическая система|динамических систем]] ==
\right.
</math>|(1)}}
 
[[Файл:Adolf-Hurwitz responsive 1408.jpg|мини|[[Гурвиц, Адольф]] - разработчик критерия гурвица]]
При любых <math>(t_0, x_0) \in I \times \Omega</math> существует единственное решение ''x(t, t<sub>0</sub>, x<sub>0</sub>)'' системы (1), удовлетворяющее начальным условиям ''x(t<sub>0</sub>, t<sub>0</sub>, x<sub>0</sub>) = x<sub>0</sub>.'' Будем предполагать, что решение ''x(t, t<sub>0</sub>, x<sub>0</sub>)'' определено на интервале <math>J^+ = [t_0; \infty)</math>, причём <math>J^+ \subset I</math>.
 
[[Файл:Bellman-richard-545.jpg|мини|[[Беллман, Ричард]] - разработчик численных методов теории устойчивости]]
== Устойчивость по Ляпунову ==
Тривиальное решение ''x = 0'' системы (1) называется устойчивым по [[Ляпунов, Александр Михайлович|Ляпунов]]у, если для любых <math>t_0 \in I</math> и <math>\varepsilon > 0</math> существует <math>\delta > 0</math>, зависящее только от ''&epsilon;'' и ''t<sub>0</sub>'' и не зависящее от ''t'', такое, что для всякого ''x<sub>0</sub>'', для которого <math>\|x_0\| < \delta</math>, решение ''x'' системы с начальными условиями x(t<sub>0</sub>) = x<sub>0</sub> продолжается на всю полуось t > t<sub>0</sub> и удовлетворяет неравенству <math>\|x(t)\| < \varepsilon</math>.
 
<math>(\forall \varepsilon > 0)(\forall t_0 \in I)(\exists \delta(t_0, \varepsilon) > 0)(\forall x_0 \in B_{\delta(t_0, \varepsilon)})(\forall t \ge t_0, t \in J^+) \Rightarrow (\|x(t, t_0, x_0)\| < \varepsilon)</math>
 
[[Файл:111listen.nyq.jpg|мини|[[Найквист, Гарри]] - разработчик критерия найквиста]]
== Равномерная устойчивость по Ляпунову ==
Тривиальное решение ''x = 0'' системы (1) называется равномерно устойчивым по Ляпунову, если &delta; из предыдущего определения зависит только от &epsilon;:
 
<math>(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta(\varepsilon) > 0)(\forall t_0 \in I)(\forall x_0 \in B_{\delta(\varepsilon)})(\forall t \ge t_0, t \in J^+) \Rightarrow (\|x(t, t_0, x_0)\| < \varepsilon)</math>
 
[[Файл:VI Arnold-02.jpg|мини|[[Арнольд, Владимир Игоревич]] - разработчик теории устойчивости и бифуркаций]]
== Неустойчивость по Ляпунову ==
Тривиальное решение ''x = 0'' системы (1) называется неустойчивым по Ляпунову, если:
== См. также ==
* [[Теорема Лагранжа об устойчивости равновесия]]
* [[Теория бифуркаций]]
* [[Теория катастроф]]
* [[Теория хаоса]]
* [[Нелинейная система]]
* [[Центральное многообразие]]
* [[Нелинейная динамика]]
* [[Динамическая система]]
* [[Статистическая модель]]
* [[Теория Колмогорова — Арнольда — Мозера]]
 
== Литература ==