Устойчивость (динамические системы): различия между версиями

{{стиль}}{{нет преамбулы}}<!-- нет явной дефиниции-->

В [[математика|математике]] решение [[дифференциальные уравнения|дифференциального уравнения]] (или, шире, траектория в [[Фазовое пространство|фазовом пространстве]] точки состояния [[динамическая система|динамической системы]]) называется '''устойчивым''', если поведение решений, с условиями, близкими к начальным, «не сильно отличается» от поведения исходного решения. Слова «не сильно отличается» при этом можно формализовать по-разному, получая разные формальные определения устойчивости: устойчивость по [[Ляпунов, Александр Михайлович|Ляпунову]], асимптотическую устойчивость и т.д. (см. ниже). Обычно рассматривается задача об устойчивости тривиального решения в [[особая точка (дифференциальные уравнения)|особой точке]], поскольку задача об устойчивости произвольной траектории сводится к данной, путём замены неизвестной функции.

 

== Постановка задачи устойчивости [[Динамическая система|динамических систем]] ==

\right.

</math>|(1)}}

При любых <math>(t_0, x_0) \in I \times \Omega</math> существует единственное решение ''x(t, t₀, x₀)'' системы (1), удовлетворяющее начальным условиям ''x(t₀, t₀, x₀) = x₀.'' Будем предполагать, что решение ''x(t, t₀, x₀)'' определено на интервале <math>J^+ = [t_0; \infty)</math>, причём <math>J^+ \subset I</math>.

== Устойчивость по Ляпунову ==

Тривиальное решение ''x = 0'' системы (1) называется устойчивым по [[Ляпунов, Александр Михайлович|Ляпунов]]у, если для любых <math>t_0 \in I</math> и <math>\varepsilon > 0</math> существует <math>\delta > 0</math>, зависящее только от ''&epsilon;'' и ''t₀'' и не зависящее от ''t'', такое, что для всякого ''x₀'', для которого <math>\|x_0\| < \delta</math>, решение ''x'' системы с начальными условиями x(t₀) = x₀ продолжается на всю полуось t > t₀ и удовлетворяет неравенству <math>\|x(t)\| < \varepsilon</math>.

 

<math>(\forall \varepsilon > 0)(\forall t_0 \in I)(\exists \delta(t_0, \varepsilon) > 0)(\forall x_0 \in B_{\delta(t_0, \varepsilon)})(\forall t \ge t_0, t \in J^+) \Rightarrow (\|x(t, t_0, x_0)\| < \varepsilon)</math>

== Равномерная устойчивость по Ляпунову ==

Тривиальное решение ''x = 0'' системы (1) называется равномерно устойчивым по Ляпунову, если &delta; из предыдущего определения зависит только от &epsilon;:

 

<math>(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta(\varepsilon) > 0)(\forall t_0 \in I)(\forall x_0 \in B_{\delta(\varepsilon)})(\forall t \ge t_0, t \in J^+) \Rightarrow (\|x(t, t_0, x_0)\| < \varepsilon)</math>

== Неустойчивость по Ляпунову ==

Тривиальное решение ''x = 0'' системы (1) называется неустойчивым по Ляпунову, если:

== См. также ==

* [[Теорема Лагранжа об устойчивости равновесия]]

 

== Литература ==