Точная верхняя и нижняя границы: различия между версиями

→‎История: оформление
(→‎История: оформление)
 
Более формально:
: <math>S_X=\{y\in M\mid\forall x\in X\!:x\leqslant y\}</math> — множество '''верхних граней''' <math>X</math>, то есть элементов <math>M</math>, равных или больших всех элементов <math>X</math>;
: <math>s=\sup(X)\iff s\in S_X\land\forall y\in S_X\!:s\leqslant y.</math>
 
 
=== Замечания ===
* Эти определения ничего не говорят о том, принадлежит ли <math>\sup X</math> и <math>\inf X</math> множеству <math>X</math> или нет.:
**В:: в случае <math>s=\sup X\in X</math>, говорят, что <math>s</math> является '''максимумом''' <math>X</math>, то есть <math>s=\max X</math>.;
**В:: в случае <math>i=\inf X\in X</math>, говорят, что <math>i</math> является '''минимумом''' <math>X</math>, то есть <math>i=\min X</math>.
* Приведенные определения являются [[Непредикативность (математика)|непредикативными]] (ссылающимися на самих себя), поскольку определяемое понятие в каждом из них является элементом множества, через которое оно определяется. Сторонники [[Конструктивная математика|конструктивизма]] в математике выступают против использования таких определений, не допуская либо различными методами устраняя элементы "«[[Порочный круг|порочного круга]]"» в рамках своих теорий.
 
== Примеры ==
 
* На множестве всех [[рациональное число|рациональных чисел]], больших пяти, не существует минимума, однако существует инфимум. <math>\inf</math> такого множества равен пяти. Инфимум не является минимумом, так как пять не принадлежит этому множеству. Если же определить множество всех натуральных чисел, больших пяти, то у такого множества есть минимум и он равен шести. Вообще говоря, у любого непустого подмножества множества натуральных чисел существует минимум.
* Для множества <math>S=\left\{\frac{1}{k}\mid k\in\mathbb N\right\}=\left\{1,\;\frac{1}{2},\;\frac{1}{3},\;\ldots\right\}</math>
=== Формулировка ===
''Непустое множество [[действительные числа|действительных чисел]], [[Ограниченное множество|ограниченное]] сверху, имеет точную верхнюю грань, ограниченное снизу — точную нижнюю грань.''
То есть существуют <math>a</math> и <math>b</math> такие, что:
: <math>b = \sup X \begin{cases}
\forall x, x \in X \Rightarrow x\leqslant b, \\
\forall b', b' < b \Rightarrow \exists x, x \in X \land x > b';
\end{cases}\ \ \ \ (1.1) </math>
 
: <math>a = \inf X \begin{cases}
\forall x, x \in X \Rightarrow x\geqslant a,\\
\forall a', a' > a \Rightarrow \exists x, x \in X \land x < a'.
\end{cases}\ \ \ \ (1.2) </math>
 
=== Доказательство ===
<math>b_0, b_1'</math>, непусто и состоит не более чем из десяти элементов, поэтому существует <math>X_1=b_0,b_1</math>.
 
Допустим, что для некоторого номера <math>m</math> построено десятичное число <math>b_0,b_1\dots b_m</math> такое, что:
#:: существует элемент <math>x \in X</math>, представление которого в виде бесконечной десятичной дроби начинается с выражения <math>b_0,b_1\dots b_m</math>
#:: если x — элемент <math>X</math> с представлением <math>x = x_0,x_1\dots x_m \dots</math>, то <math>x_0,x_1\dots x_m\leqslant b_0,b_1\dots b_m </math>.
:: <math>x_0,x_1\dots x_m\leqslant b_0,b_1\dots b_m </math>.
 
Обозначим <math>X_{m+1}</math> множество десятичных чисел вида <math>b_0,b_1\dots b_m b'_{m+1}</math>, которые служат начальными выражениями для элементов множества <math>X</math>. По определению числа <math>b_0,b_1\dots b_m</math> на основании свойства '''(1''') множество <math>X_{m+1}</math> непусто. Оно конечно, поэтому существует число <math>b_0,b_1\dots b_m b_{m+1}= \max X_{m+1}</math>, обладающее свойствами '''(1-, 2''') с заменой <math>m</math> на <math>m+1</math>, причем появление <math>(m+1)</math>-го знака после запятой не влияет на величины предшествующих знаков.
 
На основании принципа [[Математическая индукция|индукции]] для любого <math>n</math> оказывается определенной цифра <math>b_n</math> и поэтому однозначно определяется бесконечная десятичная дробь
 
Возьмем произвольное число <math>x \in X, x=x_0,x_1\dots x_n \dots</math>. По построению числа <math>b</math> для любого номера <math>n</math> выполняется <math>x_0,x_1\dots x_n\leqslant b_0,b_1\dots b_n </math>
и поэтому <math>x \leqslant b</math>. Следовательно, выполнена верхняя строчка в правой части соотношения '''(1.1''') (смотри формулировку). Следовательно, <math>b= \sup X</math>.
 
Для множества <math>X</math>, ограниченного снизу, рассуждения проводятся аналогично.
* По теореме о гранях для любого ограниченного сверху подмножества <math>\mathbb{R}</math>, существует <math>\sup</math>.
* По теореме о гранях для любого ограниченного снизу подмножества <math>\mathbb{R}</math>, существует <math>\inf</math>.
* Вещественное число <math>s</math> является <math>\sup X</math> тогда и только тогда, когда:
*#:: <math>s</math> есть верхняя грань <math>X</math>, то есть для всех элементов <math>x\in X</math>, <math>x\leqslant s</math>.;
*#:: для любого <math>\varepsilon>0</math> найдётся <math>x\in X</math>, такой, что <math>x+\varepsilon > s</math> (то есть к <math>s</math> можно сколь угодно «близко подобраться» из множества <math>X</math>, а при <math>s\in X</math> очевидно, что <math>s+\varepsilon > s</math>).
* Утверждение, аналогичное последнему, верно и для точной нижней грани.