Лемма Жордана: различия между версиями

1312 байт добавлено ,  9 месяцев назад
Нет описания правки
(→‎Формулировка: пояснения)
== Формулировка ==
Пусть <math>f(z)</math> непрерывна <!-- "Непрерывна в области" заменить на "голоморфна в области, за исключением конечного числа особых точек, не лежащих на вещественной прямой". - Можно не менять, так как добавлено пояснение замкнутая область-->в замкнутой области <math>G =\left\{z\mid\mathrm{Im} z\ge 0,\left|z\right|\ge R_0>0\right\}</math>. Обозначим через <math>C_R</math> [[полуокружность]] <math>|z|=R,\,\mathrm{Im}\,z\ge 0</math>. Пусть также <math>\lim_{R\to\infty}\max_{z\in C_R}\left|f(z)\right|=0.</math> <br/>
Тогда при <math>\alphaa>0</math> имеем
 
 
<math>\lim_{R\to\infty}\int\limits_{C_R}f(z)e^{i\alpha ziaz}\,dz=0</math>
 
== Доказательство ==
По определению интеграла
:<math> \int_{C_R} f(z)e^{iaz}\, dz
=\int_0^\pi f(Re^{i\theta})\,e^{iaR(\cos\theta+i \sin\theta)}\,i Re^{i\theta}\,d\theta
=R\int_0^\pi f(Re^{i\theta})\,e^{aR(i\cos\theta-\sin\theta)}\,ie^{i\theta}\,d\theta\,.
</math>
 
Далее, сделаем оценку:
:<math> I_R:=\biggl|\int_{C_R} f(z)e^{iaz}\, dz\biggr|
\le R\int_0^\pi\bigl|f(Re^{i\theta})\,e^{aR(i\cos\theta-\sin\theta)}\,ie^{i\theta} \bigr|\,d\theta
=R\int_0^\pi \bigl|f(Re^{i\theta})\bigr|\,e^{-aR\sin\theta}\,d\theta\,.
</math>
 
Полагая
:<math>M_R := \max_{\theta \in [0,\pi]} \left| g \left(R e^{i \theta}\right) \right|,</math>
 
получим
 
:<math> I_R \le RM_R\int_0^\pi e^{-aR\sin\theta}\,d\theta = 2RM_R\int_0^{\pi/2} e^{-aR\sin\theta}\,d\theta\,.</math>
 
Функция {{math|sin ''θ''}} вогнута на отрезке {{math|''θ'' ∈ [0, ''π'' ⁄ 2]}}, поэтому при указанных {{math|''θ''}} выполнено неравенство
 
:<math>\sin\theta\ge \frac{2\theta}{\pi}.</math>
 
Значит,
 
:<math>I_R
\le 2RM_R \int_0^{\pi/2} e^{-2aR\theta/\pi}\,d\theta
=\frac{\pi}{a} (1-e^{-a R}) M_R\le\frac\pi{a}M_R\,,</math>
 
откуда следует требуемое, так как <math>\lim_{R\to\infty}M_R=0.</math>
 
 
== См. также ==
13

правок