Участник:AlexBystrikov/Черновик: различия между версиями
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Нет описания правки |
Нет описания правки |
||
Строка 1:
== Понятие компактного пространства ==
'''Определение 1.''' Компактное пространство — [[топологическое пространство]], в любом покрытии которого открытыми множествами <math>\{U_{\alpha}\}_{\alpha\in A}</math> найдётся конечное подпокрытие <math>\{U_{\alpha}\}_{\alpha\in B}</math> (где <math>B\subset A</math> - конечное подмножество <math>A</math>).
Соответственно, некомпактное пространство - это такое пространство, в котором возможно покрытие открытыми множествами, не допускающее выделение конечного подпокрытия.
Другое, эквивалентное определение, можно дать в терминах центрированных систем замкнутых множеств. Система непустых множеств называется центрированной, если любой конечный набор множеств этой системы имеет непустое пересечение.
Пусть <math>\{U_{\alpha}\}_{\alpha\in A}</math> - система открытых подмножеств пространства <math>X</math>, не содержащая конечных покрытий пространства <math>X</math>. Тогда их дополнения <math>F_{\alpha} = X\setminus U_{\alpha}</math> - замкнутые подмножества, образующие центрированную систему. Их пересечение пусто, если <math>\{U_{\alpha}\}_{\alpha\in A}</math> - покрытие <math>X</math>, и непусто в противном случае.
'''Определение 2 (эквивалентное).''' Компактное пространство — [[топологическое пространство]], в котором всякая центрированных система замкнутых множеств имеет непустое пересечение.
== Общие свойства компактных пространств ==
1. Образ компакта <math>X</math> при непрерывном отображении <math>f: X\rightarrow Y</math>компактен.
{{Hider|
title = Доказательство|
hidden = 1 |
title-style = text-align: left; |
content-style = text-align: left; |
content = Пусть <math>\{U_{\alpha}\}_{\alpha\in A}</math> - открытое покрытие множества <math>f(X)</math> в пространстве <math>Y</math>. Множества <math>V_{\alpha} = f^{-1}(U_{\alpha})</math> открыты (так как <math>f</math> непрерывно) и образуют покрытие пространства <math>X</math>. В силу компактности пространства <math>X</math> это покрытие допускает выделение конечного подпокрытия <math>\{V_{\alpha}\}_{\alpha\in B}</math>. Тогда
:<math>f(X) = f(\bigcup\limits_{\alpha\in B}V_{\alpha}) = \bigcup\limits_{\alpha\in B}f(V_{\alpha}) = \bigcup\limits_{\alpha\in B}f(f^{-1}(U_{\alpha})) = \bigcup\limits_{\alpha\in B}(U_{\alpha}\cap f(X)) = \bigcup\limits_{\alpha\in B}U_{\alpha}\cap f(X)</math>,
таким образом, конечное подпокрытие всегда имеется, что означает, что <math>f(X)</math> компактно.
}}
2. Компактность пространств является топологически инвариантным свойством (сохраняется при гомеоморфизмах).
3. Замкнутое подмножество <math>F</math> компактного пространства <math>X</math> компактно (в индуцированной топологии).
{{Hider|
title = Доказательство|
hidden = 1 |
title-style = text-align: left; |
content-style = text-align: left; |
content = Пусть <math>\{U_{\alpha}\}_{\alpha\in A}</math> - открытое покрытие множества <math>F</math> его подмножествами, открытыми в индуцированной топологии. Каждое из них имеет вид <math>U_{\alpha}= V_{\alpha}\cap F</math>, где <math>V_{\alpha}</math> - открытое подмножество <math>X</math>. Если к семейству открытых множеств <math>\{V_{\alpha}\}_{\alpha\in A}</math> добавить <math>X\setminus F</math>, получится открытое покрытие пространства <math>X</math>, которое компактно. Значит, существует конечное покрытие <math>X</math> множествами вида <math>\{V_{\alpha}\}_{\alpha\in B}</math> и множеством <math>X\setminus F</math>. Но тогда <math>\{U_{\alpha}\}_{\alpha\in B}</math> - искомое конечное подпокрытие пространства <math>F</math>. Значит, <math>F</math> - компактно.
}}
4. Всякая последовательность <math>\{x_n\}_{n\in {\mathbb N}}</math> в компактном пространстве <math>X</math> имеет предельную точку.
{{Hider|
title = Доказательство|
hidden = 1 |
title-style = text-align: left; |
content-style = text-align: left; |
content = Если бы предельной точки не существовало, каждая точка <math>x\in X</math> обладала бы окрестностью <math>U_x</math>, содержащей лишь конечное число членов последовательности. Система множеств <math>\{U_x\}_{x\in X}</math> образовала бы открытое покрытие компактного пространства <math>X</math>, и содержала бы конечное подпокрытие <math>\{U_x\}_{x\in B}</math>. Но так как каждое <math>U_x</math> содержит лишь конечное число членов последовательности, всё пространство содержало бы лишь конечное число членов последовательности, что приводит к противоречию.
}}
Верно и обратное: если в топологическом пространстве всякая последовательность имеет предельную точку, то оно компактно.
5. Всякое бесконечное подмножество в компактном пространстве имеет предельную точку.
6. [[Теорема Александера о предбазе]]. Топологическое пространство <math>X</math> компактно тогда и только тогда, когда выделение конечного подпокрытия допускают все покрытия, составленные из семейства открытых подмножеств, образующего предбазу <math>\mathfrak{P}</math> топологии пространства <math>X</math>.
В формулировке этой теоремы используется понятие [[предбаза топологии|предбазы топологии]] — семейства открытых подмножеств, конечные пересечения которых образуют [[база топологии|базу топологии]].
7. Декартово произведение <math>X\times Y</math> компактных пространств компактно (в топологии декартова произведения).
8. [[Теорема Тихонова]]. Если все множества <math>X_{\alpha}</math> компактны (<math>\alpha\in A</math>), тогда компактно и их [[тихоновское произведение]] <math>\prod\limits_{\alpha\in A}X_{\alpha}</math>.
== Компактные подмножества числовой прямой ==
Фундаментальным фактом для анализа является [[Лемма Гейне — Бореля|Леммой Гейне — Бореля]] о компактности отрезка числовой прямой.
| |||