Участник:AlexBystrikov/Черновик: различия между версиями

Содержимое удалено Содержимое добавлено
Нет описания правки
Строка 10:
'''Определение 2 (эквивалентное).''' Компактное пространство — [[топологическое пространство]], в котором всякая центрированных система замкнутых множеств имеет непустое пересечение.
 
== Простейшие общие теоремы о компактности ==
== Общие свойства компактных пространств ==
1. Образ компакта <math>X</math> при непрерывном отображении <math>f: X\rightarrow Y</math> компактен.
 
{{Hider|
Строка 36:
}}
 
4. Если <math>\mathfrak{B}</math> - база топологии пространства <math>X</math>, тогда <math>X</math> компактно тогда и только тогда, когда конечные подпокрытия существуют для всех открытых покрытий пространства <math>X</math>, составленных только из элементов базы.
4. Всякая последовательность <math>\{x_n\}_{n\in {\mathbb N}}</math> в компактном пространстве <math>X</math> имеет предельную точку.
 
75. Декартово произведение <math>X\times Y</math> компактных пространств компактно (в топологии декартова произведения).
 
== Общие свойства компактных пространств ==
41. Всякая последовательность <math>\{x_n\}_{n\in {\mathbb N}}</math> в компактном пространстве <math>X</math> имеет предельную точку.
 
{{Hider|
Строка 48 ⟶ 53 :
Верно и обратное: если в топологическом пространстве всякая последовательность имеет предельную точку, то оно компактно.
 
52. Всякое бесконечное подмножество в компактном пространстве имеет предельную точку.
 
== Компактность и слабые топологии ==
61. [[Теорема Александера о предбазе]]. Топологическое пространство <math>X</math> компактно тогда и только тогда, когда выделение конечного подпокрытия допускают все покрытия, составленные из семейства открытых подмножеств, образующего предбазу <math>\mathfrak{P}</math> топологии пространства <math>X</math>.
 
В формулировке этой теоремы используется понятие [[предбаза топологии|предбазы топологии]] — семейства открытых подмножеств, конечные пересечения которых образуют [[база топологии|базу топологии]].
 
82. [[Теорема Тихонова]]. Если все множества <math>X_{\alpha}</math> компактны (<math>\alpha\in A</math>), тогда компактно и их [[тихоновское произведение]] <math>\prod\limits_{\alpha\in A}X_{\alpha}</math>.
7. Декартово произведение <math>X\times Y</math> компактных пространств компактно (в топологии декартова произведения).
 
8. [[Теорема Тихонова]]. Если все множества <math>X_{\alpha}</math> компактны (<math>\alpha\in A</math>), тогда компактно и их [[тихоновское произведение]] <math>\prod\limits_{\alpha\in A}X_{\alpha}</math>.
 
== Компактные подмножества числовой прямой ==