Участник:AlexBystrikov/Черновик: различия между версиями
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Нет описания правки |
|||
Строка 10:
'''Определение 2 (эквивалентное).''' Компактное пространство — [[топологическое пространство]], в котором всякая центрированных система замкнутых множеств имеет непустое пересечение.
== Простейшие общие теоремы о компактности ==
== Общие свойства компактных пространств ==▼
1. Образ компакта <math>X</math> при непрерывном отображении <math>f: X\rightarrow Y</math> компактен.
{{Hider|
Строка 36:
}}
4. Если <math>\mathfrak{B}</math> - база топологии пространства <math>X</math>, тогда <math>X</math> компактно тогда и только тогда, когда конечные подпокрытия существуют для всех открытых покрытий пространства <math>X</math>, составленных только из элементов базы.
4. Всякая последовательность <math>\{x_n\}_{n\in {\mathbb N}}</math> в компактном пространстве <math>X</math> имеет предельную точку.▼
▲== Общие свойства компактных пространств ==
▲
{{Hider|
Строка 48 ⟶ 53 :
Верно и обратное: если в топологическом пространстве всякая последовательность имеет предельную точку, то оно компактно.
== Компактность и слабые топологии ==
В формулировке этой теоремы используется понятие [[предбаза топологии|предбазы топологии]] — семейства открытых подмножеств, конечные пересечения которых образуют [[база топологии|базу топологии]].
▲7. Декартово произведение <math>X\times Y</math> компактных пространств компактно (в топологии декартова произведения).
▲8. [[Теорема Тихонова]]. Если все множества <math>X_{\alpha}</math> компактны (<math>\alpha\in A</math>), тогда компактно и их [[тихоновское произведение]] <math>\prod\limits_{\alpha\in A}X_{\alpha}</math>.
== Компактные подмножества числовой прямой ==
|