Участник:AlexBystrikov/Черновик: различия между версиями
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Строка 60:
# Метрическое пространство <math>(X, \rho)</math> компактно;
# Метрическое пространство <math>(X, \rho)</math> [[секвенциальная компактность|секвенциально компактно]] (что означает, что всякая последовательность в X (всякое бесконечное подмножество в X) имеет точку сгущения (предельную точку));
# Метрическое пространство <math>(X, \rho)</math> [[Полное метрическое пространство|полно]] и [[Вполне ограниченное множество|вполне ограничено]]. (Вполне ограниченность означает, что для всякого <math>\varepsilon>0</math> существует конечная [[Эпсилон-сеть|<math>\varepsilon</math>-сеть]] в <math>X</math>.)
{{Hider|
Строка 73:
3. Фиксируем <math>\varepsilon>0</math>. Если <math>X</math> компактно, из открытого покрытия <math>X</math> всевозможными <math>\varepsilon</math>-шарами можно выделить конечное подпокрытие. Центры этих шаров образуют конечную <math>\varepsilon</math>-сеть для <math>X</math>. Стало быть, <math>X</math> вполне ограничено.
}}
Для доказательства остальных импликаций необходимым инструментом являются так называемые разреженные множества. Теория разреженных множеств строится без каких-либо предположений о компактности, полноте или вполне ограниченности метрического пространства <math>(X, \rho)</math>.
''Определение.'' Пусть <math>\varepsilon>0</math>. Множество (или последовательность) называется <math>\varepsilon</math>-разреженным, если расстояние между любыми его точками (членами) не меньше, чем <math>\varepsilon</math>. Множество (последовательность) называется разреженным, если оно является <math>\varepsilon</math>-разреженным для какого нибудь <math>\varepsilon>0</math>.
Основополагающим является факт существования максимальных (по включению) <math>\varepsilon</math>-разреженных подмножеств любого множества <math>A\subset X</math>. Этот факт легко следует из [[лемма Цорна|леммы Цорна]]. Любое максимальное <math>\varepsilon</math>-разреженное подмножество <math>E</math> множества <math>A</math> является для него <math>\varepsilon</math>-сетью.
Пусть <math>E</math> - <math>\varepsilon</math>-разреженное множество. Из неравенства треугольника следует, что при <math>\varepsilon'<\varepsilon/2</math> любой <math>\varepsilon'</math>-шар содержит не более одной точки из <math>E</math>. Поэтому <math>E</math> не имеет предельных точек и любая <math>\varepsilon'</math>-сеть для <math>E</math> имеет мощность не меньшую, чем <math>|E|</math>. Из этого вытекают 2 следствия:
# Если <math>X</math> - секвенциально компактно, всякое <math>\varepsilon</math>-разреженное множество должно быть конечным (как не имеющее предельных точек). В частности, это относится к любому максимальному <math>\varepsilon</math>-разреженному множеству пространства <math>X</math>. А так как такие множества являются <math>\varepsilon</math>-сетями для <math>X</math>, отсюда следует вполне ограниченность пространства <math>X</math>.
# Если <math>X</math> - вполне ограничено, из этого также следует конечность любого <math>\varepsilon</math>-разреженного множества (в противном случае не может существовать конечная <math>\varepsilon'</math>-сеть для этого множества, и уж тем более для пространства <math>X</math>).
Если множество <math>A\subset X</math> бесконечно, но его пересечение с любым замкнутым <math>\varepsilon</math>-шаром конечно, тогда оно содержит бесконечное <math>\varepsilon</math>-разреженное подмножество <math>E</math>. (В качестве такого подмножества <math>E</math> можно взять любое максимальное <math>\varepsilon</math>-разреженное подмножество в <math>A</math>. Оно является <math>\varepsilon</math>-сетью для <math>A</math>, поэтому, если бы <math>E</math> было конечным, <math>A</math> покрывалось бы конечным семейством замкнутых <math>\varepsilon</math>-шаров. Но так как, по условию, каждый такой шар содержит лишь конечное число точек из <math>A</math>, это означало бы, что само множество <math>A</math> конечно.)
И, наконец, завершающий факт:
Всякая последовательность <math>\{x_n\}_{n=1}^{\infty}</math> в метрическом пространстве <math>(X, \rho)</math> содержит либо фундаментальную, либо разреженную подпоследовательность.
{{Hider|
title = Доказательство.|
hidden = 1 |
title-style = text-align: left; |
content-style = text-align: left; |
content =
}}
Из этой теоремы получается ряд полезных следствий:
# Во вполне ограниченном пространстве из всякой последовательности можно выбрать фундаментальную подпоследовательность (так как такое пространство не содержит бесконечных разреженных множеств).
# Если пространство полно и вполне ограничено, из всякой последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. В таком пространстве всякое бесконечное подмножество имеет предельную точку, и значит, это пространство секвенциально компактно.
# Если пространство полно и вполне ограничено, оно компактно.
== Хаусдорфовы компакты ==
| |||