Квадратура круга: различия между версиями

Из формулировки проблемы видно, что она тесно связана с практически важной задачей нахождения [[Площадь круга|площади круга]]. В [[Математика в Древнем Египте|древнем Египте]] уже знали, что эта площадь (<math>S</math>) пропорциональна квадрату диаметра круга <math>d.</math> В [[Папирус Ринда|папирусе Ринда]] для вычислений используется формула{{sfn |Пять знаменитых задач древности|1975|с=10—11. }}:

: <math>S = \left(\frac{8}{9}d\right)^2.</math>

Из этой формулы видно, что площадь круга диаметра <math>d</math> считалась равной площади квадрата со стороной <math>\frac{8}{9} d.</math> В современной терминологии это значит, что египтяне принимали значение <math>\pi</math> равным <math>\left(\frac{16}{9}\right)^2 \approx 3{,}16.</math>

[[Гиппократ Хиосский]] в IV веке до н. э. первым обнаружил, что некоторые криволинейные фигуры ([[гиппократовы луночки]]) допускают точную квадратуру. Расширить класс таких фигур античным математикам не удалось. По другому пути пошёл его современник [[Динострат]], показавший, что квадратуру круга можно строго выполнить с помощью особой кривой — [[Квадратриса|квадратрисы]]{{sfn |Пять знаменитых задач древности|1975|с=24—27. }}.

В «[[Начала Евклида|Началах]]» [[Евклид]]а (III век до н. э.) вопрос о площади круга не затрагивается. Важным этапом в исследовании проблемы стало сочинение Архимеда «Измерение круга», в котором впервые строго доказана теорема: площадь круга равна площади прямоугольного треугольника, у которого один катет равен радиусу круга, а другой — длине окружности. Это означало, что если удастся осуществить «[[Длина кривой|спрямление окружности]]», то есть построить отрезок такой же длины, то проблема будет полностью решена. Архимед также дал оценку{{sfn |Пять знаменитых задач древности|1975|с=30—34. }} числа <math>\pi</math>:

: <math>\frac{223}{71} < \pi < \frac{22}{7};\quad</math> в десятичной записи: <math>3{,}1408 < \pi < 3{,}1429.</math>

Дальнейшие исследования [[История математики в Индии|индийских]], [[Математика исламского Средневековья|исламских]] и европейских математиков по этой теме долгое время касались в основном уточнения значения числа <math>\pi</math> и подбора приближённых формул для квадратуры круга. В средневековой Европе задачей занимались [[Фибоначчи]], [[Николай Кузанский]] и [[Леонардо да Винчи]]. Позднее обширные исследования опубликовали [[Кеплер, Иоганн|Кеплер]] и [[Гюйгенс, Христиан|Гюйгенс]]. Постепенно укреплялась уверенность в том, что число <math>\pi</math> не может быть точно выражено с помощью конечного числа арифметических операций (включая [[извлечение корня]]), отсюда вытекала бы невозможность квадратуры круга{{sfn |Пять знаменитых задач древности|1975|с=97—98. }}. В 1775 году [[Парижская академия наук]] (за которой последовал ряд других академий мира) постановила не принимать к рассмотрению попытки квадратуры круга и прочих неразрешимых задач.

[[Иррациональное число|Иррациональность]] числа <math>\pi</math> была доказана [[Ламберт, Иоганн Генрих|Ламбертом]] в 1766 году в работе «Предварительные сведения для ищущих квадратуру и спрямление круга». Труд Ламберта содержал пробелы, вскоре исправленные [[Лежандр, Адриен Мари|Лежандром]] (1794 год). Окончательное доказательство неразрешимости квадратуры круга дал в 1882 году [[Линдеман, Фердинанд фон|Линдеман]] (см. следующий раздел){{sfn |Пять знаменитых задач древности|1975|с=144—168. }}. Математики также предложили множество практически полезных способов приближённой квадратуры круга с хорошей точностью{{sfn |Пять знаменитых задач древности|1975|с=188—191. }}.