Вавилонская математика: различия между версиями

м
викификация, стилевые правки
м (викификация, стилевые правки)
:: ''Данная статья — часть обзора [[История математики]].''
 
[[Файл:Ybc7289-bw.jpg|right|thumb|300px|<center>Вавилонская табличка (около 1800–1600 1800—1600 г. {{донэ}}) с вычислением <math>\sqrt{2} \approx 1 + 24/60 + 51/60^2 + 10/60^3</math><br /> = 1.41421296…</center>]]
 
== Общие сведения ==
[[Вавилония|Вавилонское царство]] возникло в начале II тысячелетия {{донэ}}. на территории современного [[Ирак]]а, придя на смену [[Шумер]]у и [[Аккад]]у и унаследовав их развитую культуру. Просуществовало до персидского завоевания в 539 году {{донэ}}
 
Вавилоняне писали [[клинопись|клинописными]] значками на [[Глиняные таблички|глиняных табличках]], которые в немалом количестве дошли до наших дней (более 500000, из них около 400 связаны с математикой). Поэтому мы имеем довольно полное представление о математических достижениях учёных [[Вавилония|Вавилонского государства]]. Отметим, что корниКорни культуры вавилонян были в значительной степени унаследованы от [[шумер]]ов — [[Клинопись|клинописное письмо]], счётная методика {{nobr|и т. п.}}{{sfn |История математики|1970|с=35 }}
 
Вавилонские математические тексты носят преимущественно учебный характер. Из них видно, что вавилонская расчётная техника была намного совершеннее [[Математика в Древнем Египте|египетской]], а круг решаемых задач существенно шире. Есть задачи на решение [[Квадратное уравнение|квадратных уравнений]], [[Геометрическая прогрессия|геометрические прогрессии]]. При решении применялись [[Пропорция (математика)|пропорции]], средние арифметические, проценты. Методы работы с {{d-|[[прогрессия]]ми}} были глубже, чем у [[Математика в Древнем Египте|египтян]].
 
В вавилонских текстах, как и в [[Математика в Древнем Египте|египетских]], излагается только [[алгоритм]] решения (на конкретных примерах), без комментариев и [[Доказательство|доказательств]]. Однако анализ алгоритмов показывает, что развитая общая математическая теория у вавилонян несомненно была{{sfn |Матвиевская Г. П.|1967|с=7—8}}.
 
== Нумерация ==
[[Файл:Babylonian numerals.jpg|right|thumb|300px|[[Вавилонские цифры|Вавилонские 60-ричные цифры]]]]
Шумеры и вавилоняне использовали [[Шестидесятеричная система счисления|60-ричную позиционную систему счисления]], увековеченную в нашем делении [[круг]]а на 360°. Писали они, как и мы, слева направо. Однако запись необходимых 60 цифр была своеобразной. Значков для цифр было всего два, обозначим их Е (единицы) и Д (десятки); позже появился значок для нуля. Цифры от 1 до 9 изображались как Е, ЕЕ, … ЕЕЕЕЕЕЕЕЕ. Далее шли Д, ДЕ, … ДДДДДЕЕЕЕЕЕЕЕЕ (59). Таким образом, число изображалось в позиционной 60-ричной системе, а его 60-ричные цифры — в аддитивной десятичной. Аналогично записывались дроби. Для популярных дробей 1/2, 1/3 и 2/3 были специальные значки.
 
Греческие и средневековые европейские математики (в том числе и [[Коперник]]), для обозначения дробных частей пользовались вавилонской 60-ричной системой. Благодаря этому, мы делим час на 60 минут и минуты на 60 секунд. Вопреки распространённому мнению, часы, минуты и секунды не использовались в Древнем Вавилоне. Вместо этого использовался «двойной час» длительностью 120 современных минут, а также «время-градус» длительностью {{frac|1|360}} дня (т.е.то есть четыре минуты) и «третья часть» длительностью 3{{frac|1|3}} современных секунды (как ''[[хелек]]'' в современном [[Еврейский календарь|еврейском календаре]])<ref>Стр. 325 в
{{статья
|заглавие=The astronomy of Maimonides and its sources
В современной научной литературе для удобства используется компактная запись вавилонского числа, например:
:: 4,2,10; 46,52
Расшифровывается эта запись следующим образом: 4 &times;  × 3600 + 2 &times;  × 60 + 10 + 46/60 + 52/3600
 
== Арифметика и алгебра ==
Основой вычислительной техники вавилонян был громоздкий комплект специальных арифметических таблиц. Он включал таблицы для умножения (отдельно для умножения на 1…20, 30…50), обратных величин, [[Квадрат (алгебра)|квадратов]], [[Куб (алгебра)|кубов]], [[Квадратный корень|квадратных]] и [[Кубический корень|кубических корней]] и многие другие. Одна из таблиц помогала находить показатель степени ''n'', если дано число вида <math>2^n</math> (эти двоичные [[логарифм]]ы использовались для подсчёта процентов по кредиту). Деление целых чисел m/n вавилоняне заменяли умножением m &times;×(1/n), а для нахождения 1/n использовалась упомянутая выше таблица{{sfn |История математики|1970|с=37—39 }}{{sfn |Матвиевская Г. П.|1967|с=6—7}}.
 
[[Линейное уравнение|Линейные]] и [[квадратные уравнения]] (см. [[Plimpton 322]]) решались ещё в эпоху [[Хаммурапи]] (он правил в 1793−1750 годах {{донэ}}); при этом использовалась геометрическая терминология (произведение ''ab'' называлось площадью, ''abc''  — объёмом, и  т.  д.). Многие значки для одночленов были шумерскими, из чего можно сделать вывод о древности этих [[алгоритм]]ов; эти значки употреблялись как буквенные обозначения для ''неизвестного'' (в терминах современной [[Алгебра|алгебры]]). Встречаются также [[Кубическое уравнение|кубические уравнения]] и [[Система линейных алгебраических уравнений|системы линейных уравнений]].
 
Для вычисления [[квадратный корня|квадратных корней]] вавилоняне открыли быстро сходящийся [[Итерационная формула Герона|итерационный процесс]]. Начальное приближение для <math>\sqrt{a}</math> рассчитывалось исходя из ближайшего к корню (в меньшую сторону) натурального числа <math>n</math>. Представив подкоренное выражение в виде: <math>a=n^2+r</math>, получаем: <math>x_0=n+\frac{r}{2n}</math>, затем применялся итеративный процесс уточнения, соответствующий [[Метод Ньютона|методу Ньютона]]{{sfn |История математики|1970|с=47 }}:
: <math>x_{n+1}=\frac{1}{2}~\left(x_n + \frac{a}{x_n}\right)\ </math>
Итерации в этом методе очень быстро сходятся. Для <math>\sqrt{5}</math>, например, <math>a=5;\;n=2;\;r=1;\ x_0=\frac{9}{4} = 2{,}25,</math> и мы получаем последовательность приближений:
 
== Геометрия ==
В геометрии рассматривались те же фигуры, что и в [[Математика в Древнем Египте|Египте]], плюс сегмент [[кругсегмент круга]]а и усечённый [[усечённый конус]]. В ранних документах полагают <math>\pi=3</math>; позже встречается приближение 25/8 = 3,125 (у египтян 256/81 ≈ 3,1605). Встречается также и необычное правило: [[площадь]] [[круг]]а есть 1/12 от квадрата длины окружности, то есть <math>\pi^2 R^2/3</math>. Впервые появляется (ещё при [[Хаммурапи]]) [[теорема Пифагора]], причём в общем виде; она снабжалась особыми таблицами и широко применялась при решении разных задач. Вавилоняне умели вычислять [[площадь|площади]] [[Правильный многоугольник|правильных многоугольников]]; видимо, им был знаком принцип подобия. Для площади неправильных четырёхугольников использовалась та же приближённая формула, что и в [[Математика в Древнем Египте|Египте]]: <math>S=\frac{{a+c}}{2} \cdot \frac {b+d}{2}</math>.
 
От вавилонской математики ведёт начало привычноепринятое намсегодня измерение углов [[Градус (геометрия)|градусами, минутами и секундами]] (введение этих единиц в древнегреческую математику обычно приписывают [[Гипсикл]]у, II век {{донэ}})
 
Венцом [[планиметрия|планиметрии]] была [[теорема Пифагора]]; [[Ван дер Варден, Бартель Леендерт|Ван дер Варден]] считает, что вавилоняне открыли её между 2000 и 1786 годами {{донэ}}<ref>{{книга|автор=van der Waerden, Bartel Leendert.|заглавие=Geometry and Algebra in Ancient Civilizations |ссылка=https://books.google.com/?id=_vPuAAAAMAAJ&q=%22Pythagorean+triples%22++%22Babylonian+scribes%22+inauthor:van+inauthor:der+inauthor:Waerden&dq=%22Pythagorean+triples%22++%22Babylonian+scribes%22+inauthor:van+inauthor:der+inauthor:Waerden&cd=1 |издательство=Springer |год=1983 |isbn=3-540-12159-5}}</ref>.
 
== Историческое влияние ==
Значительные достижения вавилонских математиков и астрономов стали фундаментом для науки последующих цивилизаций, и прежде всего  — науки древней Греции. Всё же богатая теоретическая основа математики Вавилона не имела целостного характера и сводилась к набору разрозненных приёмов, лишённых общей системы и доказательной базы. Систематический доказательный подход в математике появился только у [[Математика в Древней Греции|греков]].
 
== Примечания ==
 
== Ссылки ==
* [http://it.stlawu.edu/~dmelvill/mesomath/ Mesopotamian Mathematics] {{ref-en}}
* ''O’Connor, J. J. and Robertson, E. F.'', [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Babylonian_mathematics.html An overview of Babylonian mathematics], MacTutor History of Mathematics, (December 2000).