Симплектическое многообразие: различия между версиями

Симплектическая форма ставит в соответствие функции <math>H</math> векторное поле <math>v</math>, определяемое следующим тождеством:
: <math>dH(w) = \omega(v,w).</math>
 
Это определение аналогично определению [[градиент]]а и иногда <math>v</math> называется ''симплектическим градиентом'' функции <math>H</math>.
 
Поле <math>v</math>, которое можно получить таким образом называется гамильтоновым.
 
В силу невырожденности формы <math>\omega</math> векторное поле <math>v</math> определено однозначно.
В координатах Дарбу это отображение принимает вид
: <math>\dot {\mathbf q} = \frac{\partial H}{\partial \mathbf p}, \quad \dot {\mathbf p} = - \frac{\partial H}{\partial \mathbf q},</math>
соответствующий [[Уравнения Гамильтона|уравнениям Гамильтона]], при этом <math>H</math> называется ''функцией Гамильтона'' или ''гамильтонианом''. [[Скобки Пуассона]] превращают множество гамильтонианов на <math>M</math> в [[Алгебра Ли|алгебру Ли]] и определены по правилу
[[Скобки Пуассона]] превращают множество гамильтонианов на <math>M</math> в [[Алгебра Ли|алгебру Ли]] и определены по правилу
: <math>[F, G] = \omega(I dF, I dG).</math>