Симплектическое многообразие: различия между версиями

Нет описания правки
*Если размерность <math>M</math> равна <math>2n</math>, то невырожденость формы <math>\omega</math> эквивалентна условию <math>\omega^{\wedge n}\ne 0</math>.
 
== Связанные определения ==
== Гамильтоновы векторные поля ==
* Диффеоморфизм симплектических многообразий <math>f\colon M \to N</math> называется '''симплектоморфизмом''', если он сохраняет симплектическую структуру.
Пусть <math>H\colon M \to \mathbb R</math> — произвольная гладкая функция на симплектическом многообразии.
Симплектическая форма ставит в соответствие функции <math>H</math> векторное поле <math>v</math>, определяемое следующим тождеством:
: <math>dH(w) = \omega(v,w).</math>
 
*Пусть <math>H\colon M \to \mathbb R</math> — произвольная гладкая функция на симплектическом многообразии. Симплектическая форма ставит в соответствие функции <math>H</math> векторное поле <math>v</math>, определяемое следующим тождеством:
Это определение аналогично определению [[градиент]]а и иногда <math>v</math> называется ''симплектическим градиентом'' функции <math>H</math>.
*: <math>dH(w) = \omega(v,w).</math>
**Это определение аналогично определению [[градиент]]а и иногда <math>v</math> называется ''симплектическим градиентом'' функции <math>H</math>.
**Поле <math>v</math>, которое можно получить таким образом называется гамильтоновым.
**В силу невырожденности формы <math>\omega</math> векторное поле <math>v</math> определено однозначно. Будем обозначать его <math>v=I dH</math>. В координатах Дарбу это отображение принимает вид
*: <math>\dot {\mathbf q} = \frac{\partial H}{\partial \mathbf p}, \quad \dot {\mathbf p} = - \frac{\partial H}{\partial \mathbf q},</math>
:соответствующий [[Уравнения Гамильтона|уравнениям Гамильтона]], при этом <math>H</math> называется ''функцией Гамильтона'' или ''гамильтонианом''.
 
*[[Скобки Пуассона]] превращают множество гамильтонианов на <math>M</math> в [[Алгебра Ли|алгебру Ли]] и определены по правилу
Поле <math>v</math>, которое можно получить таким образом называется гамильтоновым.
 
В силу невырожденности формы <math>\omega</math> векторное поле <math>v</math> определено однозначно.
Будем обозначать его <math>v=I dH</math>.
В координатах Дарбу это отображение принимает вид
: <math>\dot {\mathbf q} = \frac{\partial H}{\partial \mathbf p}, \quad \dot {\mathbf p} = - \frac{\partial H}{\partial \mathbf q},</math>
соответствующий [[Уравнения Гамильтона|уравнениям Гамильтона]], при этом <math>H</math> называется ''функцией Гамильтона'' или ''гамильтонианом''.
 
[[Скобки Пуассона]] превращают множество гамильтонианов на <math>M</math> в [[Алгебра Ли|алгебру Ли]] и определены по правилу
: <math>[F, G] = \omega(I dF, I dG).</math>
 
== Связанные определения ==
* Диффеоморфизм симплектических многообразий <math>f\colon M \to N</math> называется '''симплектоморфизмом''', если он сохраняет симплектическую структуру.
 
== Свойства ==