Векторное произведение: различия между версиями

81 байт добавлено ,  8 месяцев назад
м
(Сделал незначительные исправления.)
м (→‎Размерности, не равные трём: Улучшена формула)
 
Однако есть простое обобщение на остальные натуральные размерности, начиная с 3, а если нужно — и на размерность 2 (последнее, правда, сравнительно специфическим образом). Тогда это обобщение, в отличие от невозможного, описанного чуть выше, вводится не для пары векторов, а лишь для набора <math>(n-1)</math> векторов-сомножителей. Вполне аналогично [[Смешанное произведение векторов|смешанному произведению]], естественно обобщаемому в <math>n</math>-мерном пространстве на операцию с <math>n</math> сомножителями. Используя [[символ Леви-Чивиты]] <math>\varepsilon_{i_1 i_2 i_3 \ldots i_n}</math> с <math>n</math> индексами, можно явно записать такое <math>(n-1)</math>-валентное векторное произведение как
: <math>
P_i(\mathbf{a},\;mathbf{b},\;mathbf{c},\;\ldots}dotsc) = \sum_{j,\;k,\;m,\;\ldotsdotsc=1}^n \varepsilon_{ijk\ldots} a_j b_k c_m \ldots =\det\left(\begin{pmatrix}\mathbf{e_1}\\ \vdots \\\mathbf{e_n}\end{pmatrix},\mathbf{,a},\mathbf{b},\mathbf{c},\ldots}\right) \cdot \mathbf{e_i},
</math>
 
<math>
\mathbf P(\mathbf{a_1},\mathbf{a_2},\ldots,\mathbf{a_{n-1}}) = \det\left(\begin{pmatrix}\mathbf{e_1}\\ \vdots \\\mathbf{e_n}\end{pmatrix},\mathbf{,a_1},\mathbf{a_2},\ldots,\mathbf{a_{n-1}}\right) =
\begin{vmatrix}
\mathbf{e_1}&\mathbf{e_2}&\cdots & \mathbf{e_n} \\