Эрлангенская программа: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
м →Литература: пунктуация, оформление |
м →Краткое содержание: пунктуация |
||
Строка 9:
Клейну принадлежит идея алгебраической классификации различных отраслей геометрии в соответствии с теми классами преобразований, которые для этой геометрии несущественны. Более точно выражаясь, один раздел геометрии отличается от другого тем, что им соответствуют разные [[Группа (математика)|группы]] преобразований пространства, а объектами изучения выступают [[Инвариант (математика)|инварианты]] таких преобразований<ref>Основы теории групп к этому времени уже были созданы [[Эварист Галуа|Эваристом Галуа]] и [[Камилл Жордан|Камиллом Жорданом]].</ref>.
Например, классическая [[евклидова геометрия]] изучает свойства фигур и тел, сохраняющиеся при движениях без деформации; ей соответствует группа, содержащая [[Вращение|вращения]], [[Параллельный перенос|переносы]] и их сочетания. [[Проективная геометрия]] может изучать [[конические сечения]], но не имеет дела с кругами или углами, потому что круги и углы не сохраняются при [[Проективное преобразование|проективных преобразованиях]]. Топология исследует инварианты произвольных [[Гомеоморфизм|непрерывных преобразований]] (Клейн отметил это ещё до того, как родилась топология). Изучая алгебраические свойства групп преобразований, мы можем открыть новые глубокие свойства соответствующей геометрии, а также проще доказать старые. Подход Клейна унифицировал различные геометрии и их методы, прояснил их различия. Вне данной схемы осталась только [[риманова геометрия]]; для её включения в общую систему понадобилось в 1920-х годах значительно обобщить подход Клейна{{sfn |Визгин В. П.|1973|с=223
Пример простого доказательства того, что [[Медиана треугольника|медианы]] любого треугольника пересекаются в одной точке. Медиана есть [[Аффинная геометрия|аффинный]] инвариант; если в равностороннем треугольнике медианы пересекаются в одной точке, то и в любом другом это будет верно, потому что любой треугольник можно [[Аффинное преобразование|аффинным преобразованием]] преобразовать в равносторонний и обратно.
| |||