Группа Ли: различия между версиями

60 байт добавлено ,  10 месяцев назад
Нет описания правки
 
== Типы групп Ли ==
 
Группы Ли классифицируются по своим алгебраическим свойствам ([[простая группа|простоте]], [[полупростая группа|полупростоте]], [[разрешимая группа|разрешимости]], [[нильпотентная группа|нильпотентности]], [[абелева группа|абелевости]]), а также по топологическим свойствам ([[связное пространство|связности]], [[односвязное пространство|односвязности]] и [[компактное пространство|компактности]]).
 
== Подгруппы Ли ==
 
Подгруппа <math>H</math> группы Ли <math>G</math> называется её ''подгруппой Ли'', если она является подмногообразием в многообразии <math>G</math>, то есть найдётся <math>m>0</math>, такое, что <math>H</math> задаётся в окрестности каждой своей точки <math>p</math> системой из <math>k</math> функций, имеющей в <math>p</math> ранг <math>m</math>. Не всякая подгруппа является подгруппой Ли: например, подгруппа пар вида <math>(e^{ix}, e^{i\pi x})</math> в торе <math>\{(e^{ix},e^{iy})\mid x,y\in\R\}</math> не является подгруппой Ли (она даёт всюду плотную обмотку тора). Подгруппа Ли всегда замкнута. В вещественном случае верно и обратное: замкнутая подгруппа является подгруппой Ли. В комплексном случае это не так: бывают вещественные подгруппы Ли комплексной группы Ли, имеющие нечетную размерность, например, [[унитарная матрица|унитарные матрицы]] в группе обратимых комплексных матриц <math>2\times 2</math>.
 
Пусть <math>H</math>  — подгруппа Ли группы Ли <math>G</math>. Множество <math>G/H</math> смежных классов (безразлично, левых или правых) можно единственным образом наделить структурой дифференцируемого многообразия так, чтобы каноническая проекция была дифференцируемым отображением. При этом получится локально тривиальное расслоение, и если <math>H</math>  — [[нормальная подгруппа]], то факторгруппа будет группой Ли.
 
== Гомоморфизмы и изоморфизмы ==
Пусть <math>G</math> и <math>H</math>  — группы Ли над одним и тем же полем. ''Гомоморфизмом'' групп Ли называется отображение <math>f\colon G\to H</math>, являющееся [[гомоморфизм групп|гомоморфизмом групп]] и одновременно аналитическим отображением многообразий (можно показать, что для выполнения последнего условия достаточно непрерывности <math>f</math>). Композиция гомоморфизмов групп Ли снова будет гомоморфизмом групп Ли. Классы всех вещественных и всех комплексных групп Ли вместе с соответствующими гомоморфизмами образуют [[теория категорий|категории]] <math>\operatorname{Lie}_\R</math> и <math>\operatorname{Lie}_\Complex</math>. Гомоморфизм групп Ли называется ''изоморфизмом'', если существует обратный. Две группы Ли, между которыми существует изоморфизм, как обычно в абстрактной алгебре, называются изоморфными. Как обычно, группы Ли различают лишь с точностью до изоморфизма. Например, группа Ли <math>SO(2)</math> поворотов плоскости с операцией композиции и группа Ли <math>U(1)</math> комплексных чисел, равных по модулю единице, с операцией умножения, являются изоморфными.
 
Пусть <math>G</math> и <math>H</math> — группы Ли над одним и тем же полем. ''Гомоморфизмом'' групп Ли называется отображение <math>f\colon G\to H</math>, являющееся [[гомоморфизм групп|гомоморфизмом групп]] и одновременно аналитическим отображением многообразий (можно показать, что для выполнения последнего условия достаточно непрерывности <math>f</math>). Композиция гомоморфизмов групп Ли снова будет гомоморфизмом групп Ли. Классы всех вещественных и всех комплексных групп Ли вместе с соответствующими гомоморфизмами образуют [[теория категорий|категории]] <math>\operatorname{Lie}_\R</math> и <math>\operatorname{Lie}_\Complex</math>. Гомоморфизм групп Ли называется ''изоморфизмом'', если существует обратный. Две группы Ли, между которыми существует изоморфизм, как обычно в абстрактной алгебре, называются изоморфными. Как обычно, группы Ли различают лишь с точностью до изоморфизма. Например, группа Ли <math>SO(2)</math> поворотов плоскости с операцией композиции и группа Ли <math>U(1)</math> комплексных чисел, равных по модулю единице, с операцией умножения, являются изоморфными.
 
Пример иррациональной обмотки тора показывает, что образ группы Ли при гомоморфизме не всегда является подгруппой Ли. Однако прообраз подгруппы Ли при гомоморфизме всегда является подгруппой Ли.
 
== Действия групп Ли ==
Группы Ли часто выступают как симметрии какой-либо структуры на некотором многообразии, а потому естественно, что изучение [[действие группы|действий]] групп Ли на различных многообразиях является важным разделом теории. Говорят, что группа Ли ''G'' ''действует'' на гладком многообразии ''M'', если задан гомоморфизм групп ''a'': ''G'' &rarr; ''Diff M'', где ''Diff M''&nbsp; — группа диффеоморфизмов ''M''. Таким образом, каждому элементу ''g'' группы ''G'' должно соответствовать диффеоморфное преобразование ''a<sub>g</sub>'' многообразия ''M'', причём произведению элементов и взятию обратного элемента отвечают соответственно композиция диффеоморфизмов и обратный диффеоморфизм. Если из контекста ясно, о каком действии идёт речь, то образ ''a''<sub>''g''</sub>(''m'') точки ''m'' при диффеоморфизме, определяемом элементом ''g'', обозначается просто ''gm''.
 
Группы Ли часто выступают как симметрии какой-либо структуры на некотором многообразии, а потому естественно, что изучение [[действие группы|действий]] групп Ли на различных многообразиях является важным разделом теории. Говорят, что группа Ли ''G'' ''действует'' на гладком многообразии ''M'', если задан гомоморфизм групп ''a'': ''G'' &rarr; ''Diff M'', где ''Diff M''&nbsp;— группа диффеоморфизмов ''M''. Таким образом, каждому элементу ''g'' группы ''G'' должно соответствовать диффеоморфное преобразование ''a<sub>g</sub>'' многообразия ''M'', причём произведению элементов и взятию обратного элемента отвечают соответственно композиция диффеоморфизмов и обратный диффеоморфизм. Если из контекста ясно, о каком действии идёт речь, то образ ''a''<sub>''g''</sub>(''m'') точки ''m'' при диффеоморфизме, определяемом элементом ''g'', обозначается просто ''gm''.
 
Группа Ли естественно действует на себе левыми и правыми сдвигами, а также сопряжениями. Эти действия традиционно обозначаются ''l'', ''r'' и ''a'':
: ''g'' (''hN'') = (''gh'')''N'',
 
[[Действие группы|Действие]] группы Ли ''G'' на дифференцируемом многообразии ''M'' называется ''транзитивным'', если любую точку ''M'' можно перевести в любую другую посредством действия некоторого элемента ''G''. Многообразие, на котором задано транзитивное действие группы Ли, называется ''[[Однородное пространство|''однородным пространством'']]'' этой группы. Однородные пространства играют важную роль во многих разделах геометрии. Однородное пространство группы ''G'' диффеоморфно ''G'' / st ''x'', где st ''x''  — [[Действие группы|стабилизатор]] произвольной точки.
 
== Алгебра Ли группы Ли ==
 
Со всякой группой Ли можно связать некоторую [[алгебра Ли|алгебру Ли]], которая полностью отражает локальную структуру группы, во всяком случае, если группа Ли связна.
 
 
== Литература ==
* {{БРЭ|Ли групп теория|id=2648980}}
* Винберг Э. Б., Онищик А.  Л.  Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. 1988, 1995
* Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.20. Группы Ли и алгебры Ли  — 1.  — М.: ВИНИТИ, 1988.
* [[Адамс, Джон Фрэнк|Адамс Дж. Ф.]] Лекции по группам Ли.  — М.: Наука, 1979.
* ''[[Николя Бурбаки|Бурбаки Н.]]'' Группы и алгебры Ли. Главы I—III. — М.: Мир, 1976. — 496 с.
* ''[[Николя Бурбаки|Бурбаки Н.]]'' Группы и алгебры Ли. ГлаваГлавы IXI—III.  — М.: Мир, 19861976.  174496 с.
* ''[[Николя Бурбаки|Бурбаки Н.]]'' Группы и алгебры Ли. ГлавыГлава I—IIIIX.  — М.: Мир, 19761986.  496174 с.
* {{книга | автор =[[Желобенко, Дмитрий Петрович|Желобенко Д. П.]]|заглавие =Компактные группы Ли и их представления| место =М.|издательство =Наука|год =1970|страниц =664|isbn =| ref =Желобенко}}
 
Ресурсы [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library физико-математической библиотеки] сайта [http://eqworld.ipmnet.ru/ru EqWorld Мир математических уравнений]:
* [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/SofusLi1962ru.djvu Семинар «Софус Ли». Теория алгебр Ли. Топология групп Ли.  — М.: ИЛ, 1962 (djvu)]
* [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Serr1969ru.djvu Серр Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли.  — М.: Мир, 1969 (djvu)]
 
{{Теория групп}}
{{rq|refless|isbn|topic=math}}
 
{{Теория групп}}
 
[[Категория:Группы Ли|*]]