Википедия

Формулировка квантовой теории через интегралы по траекториям: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории
(Показать все непатрулированные изменения)
[отпатрулированная версия][отпатрулированная версия]
← Предыдущая правкаСледующая правка →
Содержимое удалено Содержимое добавлено
ВизуальныйВики-текст
м →‎Преамбула: оформление, стилевые правки
м →‎Квантовый принцип действия: оформление, исправление ссылки
Строка 17:
== Квантовый принцип действия ==
 
В традиционной [[квантовая механика|квантовой механике]] [[Гамильтониан (квантовая механика)|гамильтониан]] представляет собой [[генераторГенераторы группы|генератор бесконечно малых (инфинитезимальных)]] временных трансляций]] (например, в пространстве состояний квантовомеханической системы). Это означает, что состояние через бесконечно малое время <math>dt</math> отличается от состояния в данный момент времени на величину, равную произведению <math>-i</math> на <math>dt</math> на действие оператора Гамильтона на это состояние. Для состояний с определённой энергией это выражает соотношение [[де Бройль|де Бройля]] между [[частота|частотой]] и [[энергия|энергией]], а общее отношение согласуется с ним с учётом [[принцип суперпозиции|принципа суперпозиции]].
 
Но гамильтониан в классической механике выводится из [[лагранжиан]]а, который является более фундаментальной величиной в соответствии со [[Специальная теория относительности|специальной теорией относительности]]. Гамильтониан описывает развитие системы во времени, но представление о времени изменяется при переходе от одной системы отсчёта к другой. Таким образом, гамильтониан различен для разных систем отсчёта, и в начальной формулировке квантовой механики её [[Лоренц-инвариантность]] не очевидна.
Строка 25:
В квантовой механике [[преобразование Лежандра]] трудно интерпретировать, так как движение происходит не по определённой траектории. В классической механике с дискретизацией по времени
 
:: <math>
\varepsilon H = p\big(q(t + \varepsilon) - q(t)\big) - \varepsilon L,
</math>
 
и
 
:: <math>
p = \frac{\partial L}{\partial\dot{q}},
</math>
 
где частная производная по ''q'' оставляет ''q''(''t'' + ''ε'') фиксированным. Обратное преобразование Лежандра:
 
:: <math>
\varepsilon L = p \varepsilon \dot{q} - \varepsilon H,
</math>
 
где
 
:: <math>
\dot q = \frac{\partial H}{\partial p},
</math>
 
Строка 51:
В квантовой механике состояние является суперпозицией разных состояний с разными значениями ''q'' или разными значениями ''p'', а величины ''p'' и ''q'' могут быть интерпретированы как некоммутирующие операторы. Оператор ''p'' имеет определённое значение только на состояниях, которые не имеют определённого ''q''. Тогда представим два состояния, разделённых во времени, и подействуем на них оператором, соответствующим лагранжиану:
 
::<math>
e^{i[p\{q(t + \varepsilon) - q(t)\} - \varepsilon H(p, q)]}.
</math>
 
Если операции умножения в данной формуле рассматривать как умножение операторов (или их матриц), то это означает, что первый множитель
 
:: <math>
e^{-ip q(t)}
</math>
 
и сумма по всем состояниям интегрируется по всем значениям ''q''(''t'') — таким образом производится [[преобразование Фурье]] к переменной ''p''(''t''). Это действие производится над [[гильбертово пространство|гильбертовым пространством]] — '''переход к переменной ''p''(''t'') в момент времени ''t'''''.
 
Далее следует множитель
 
:: <math>
e^{-i\varepsilon H(p, q)},
</math>
 
описывающий '''эволюцию системы за бесконечно малый промежуток времени'''.
 
И последний множитель в этой интерпретации:
 
:: <math>
e^{ipq(t + \varepsilon)},
</math>
 
производящий '''изменение базиса обратно к ''q''(''t''), но уже в более поздний момент времени'''.
 
Это не сильно отличается от обычной эволюции во времени: ''H'' содержит всю динамическую информацию — он толкает состояние вперёд во времени. Первая и последняя части совершают [[преобразование Фурье]] к промежуточной переменной ''p''(''t'') и обратно.
Строка 85:
Дирак позднее заметил, что можно взять квадрат оператора эволюции в ''S''-представлении:
 
:: <math>
e^{i\varepsilon S},
</math>
 
Источник — https://ru.wikipedia.org/wiki/Формулировка_квантовой_теории_через_интегралы_по_траекториям