Формулировка квантовой теории через интегралы по траекториям: различия между версиями

Для частицы, находящейся в гладком потенциале, интеграл по траекториям, который в одномерном случае является произведением обыкновенных интегралов, приближают зигзагообразными путями. При движении частицы из положения <math>x = x_a</math> в момент времени <math>t = t_a</math> в точку <math>x = x_b</math> при <math>t = t_b</math> временная последовательность <math>t_a < t_1 < \dotsldots < t_{n-1} < t_n < t_b</math> может быть разделена на ''n'' малых сегментов <math>t_j - t_{j-1},\; j = 1, \dots, n</math> фиксированной длительности <math>\varepsilon \equiv \Delta t = \frac{t_b - t_a}{n + 1}</math> (одним оставшимся сегментом можно пренебречь, так как в конечном счёте рассматривается предел <math>n \to \infty </math>). Этот процесс называется квантованием времени.

Приближение для интеграла по траекториям пропорционально выражению:

\int\limits_{x_1=x_a}^{x_1=x_b} \ldots \int\limits_{x_n=x_a}^{x_n=x_b} \ \exp \left(\frac{{\rm i}}{\hbar} \int\limits_{t_a}^{t_b} \mathcal L\big(x(t), v(t), t\big) \,\mathrm{d}tdt\right) \,dx_n \mathrm{d}x_nldots \cdots \mathrm{d}x_{1}dx_1,

где <math>\mathcal L(x, v, t)</math> — лагранжиан одномерной системы, зависящий от пространственной переменной ''x''(''t'') и скорости <math>v = \dot x(t)</math>, а <math>\mathrm{d}x_jdx_j</math> соответствует положению на ''j''-омм временном шаге, если временной интеграл приближать суммой ''n'' слагаемых.

В пределе при ''n'', стремящемся к бесконечности, это выражение становится [[Функциональный интеграл|функциональным интегралом]], который (не считая несущественного множителя) является непосредственно произведением амплитуд плотностей вероятности <math>\langle x_a, t_a|x_b, t_b\rangle </math> найти квантово-механическую частицу при <math>t = t_a</math> в начальном состоянии <math>x = x_a</math> и при <math>t = t_b</math> в конечном состоянии <math>x = x_b</math>.

В действительности, <math> \mathcal L </math> — классический лагранжиан рассматриваемой одномерной системы, <math> \mathcal L(x, \dot x, t) = p \dot x - \mathcal H(x, p, t)</math>, где <math>\mathcal H </math> — гамильтониан (''p'' — импульс, по определению равный <math>\left.p p=\frac {\partial \mathcal L}{ / \partial \dot x} \right) \!\!,</math> и вышеупомянутое «зигзагирование» соответствует появлению слагаемых

Фейнмановское приближение квантования времени, однако, не существует для наиболее важных квантово-механических интегралов по траекториям для атомов из-за сингулярности кулоновского потенциала <math>e^2 / r</math> в нуле. Только после замены времени ''t'' на другой зависящий от траектории параметр («псевдовремя») <math>s = \int dt / r(t)</math> сингулярность устраняется, и приближение квантования времени существует, которое точно интегрируемо, так как оно может быть сделано гармоничным с помощью простого преобразования координат, как было показано İsmail Hakkı Duru и Hagen Kleinert в 1979 году<ref>{{Нетстатья АИ|1автор=I. H. Duru, H. Kleinert |11заглавие=Solution of the path integral for the H-atom |2014язык=en |издание=Physics Letters B |том=84 |выпуск=2 |год=1979 |страницы=185—188 |doi=10.1016/0370-2693(79)90280-6}}</ref>. Совместное применение преобразования время—время — «псевдовремя» и преобразований координат является важным методом для вычисления многих интегралов по траекториям и называется преобразованием Duru–KleinertDuru — Kleinert.