Действие (физическая величина): различия между версиями

| Символ = <math>S = \int L(q,\;\dot q,\;t) ~ \mathrm d t</math>

Действие имеет физическую размерность [[энергия]] · [[время]] = [[импульс]] · [[расстояние]], совпадающую с размерностью [[момент импульса|момента импульса]]. По физическому смыслу действие — фаза квантовой «волны вероятности», точнее — из-за другой размерности в традиционных системах физических единиц (в том числе [[СИ]]) — пропорциональна этой фазе: <math>S = \hbar \phivarphi</math> — с постоянным размерным коэффициентом — [[постоянная Дирака|константой Планка]].

Если для какой-то системы написано ''действие'', то это в принципе определяет и её классическое поведение (то есть поведение системы в классическом приближении), и её квантовое поведение. Первое — через принцип стационарного (наименьшего) действия, второе — через фейнмановский интеграл по траекториям. При этом само действие записывается одинаково, в одной и той же форме, и для классического и для квантового случая, что делает его очень удобным инструментом (для квантования через фейнмановский интеграл в принципе надо знать только действие, определенноеопределённое для обычных классических траекторий, то есть записанное так же, как и для классического применения).

: <math>S = \int\limits_{t_1}^{t_2} L(q,\;\dot q,\;t)\,dt</math>

: <math>S = \int\limits_{t_1}^{t_2} \bigg( \sum_i p_i \dot q_i - H(q,\;p,\;t) \bigg)\, dt,</math>,

* <math>q = \{q_1,\;q_2,\dots;\ldots,\;q_N\}</math> — полный набор координат, характеризующих динамическую систему (её [[конфигурационное пространство]]),

* <math>\dot q = \{\dot q_1,\;\dot q_2,\dots;\ldots,\;\dot q_N\}</math> — набор скоростей (производных <math>q</math> по времени),

* <math>L</math> — [[Лагранжиан|функция Лагранжа]], зависящая от ''<math>N''</math> координат, ''<math>N''</math> скоростей, и иногда ещё явно от времени, в классической механике совпадающая с разностью кинетической и потенциальной энергий;

* <math>H</math> — [[гамильтониан|функция Гамильтона]], представляющая собой полную энергию системы, выраженную через ''<math>N''</math> координат, ''<math>N''</math> сопряженных им импульсов и иногда ещё явно через время.

: <math>S_0 = \int\limits_{A}limits_A^{B} \sum_i p_i d q_i\,dq_i = \int\limits_{t_1}^{t_2} \sum_i p_i \dot q_i \,dt = \int\limits_{t_1}^{t_2} \vec p \cdot \vec v d t\,dt,</math>,

Вообще в этом разделе под <math>q_i,\ \dot q_i</math> и <math>p_i</math> имеются в виду обобщённые координаты (не обязательно совпадающие с декартовыми), соответствующие этим координатам обобщённые скорости и канонически сопряженные этим координатам импульсы. В частном случае они могут быть выбраны в виде декартовых координат, тогда (в механике) соответствующие импульсы представляют собой обычные компоненты векторных импульсов материальных точек системы.

: <math>S = \int \mathcal L(q,\;\dot q,\;x,\;t) dV dt\,dVdt</math>

: <math>S = \int \bigg( \sum_i p_i \dot q_i - \mathcal H(q,\;p,\;x,\;t) \bigg) dV dt\,dVdt,</math>,

где:

* <math>\mathcal L,\ \mathcal H</math> — плотности функции Лагранжа и Гамильтона соответственно,

* <math>q_i,\ p_i</math> — значения обобщённых координат (например, смещений упругой среды или — для поля — полевой переменной, такой, как, например, электромагнитный потенциал) и обобщённых импульсов для данной точки <math>x</math> распределённой системы (среды или поля).

Интегрирование производится и по пространству и по времени. Общее количество координат и импульсов <math>q_i,\ p_i</math>, описывающих систему, как видим, в этом случае бесконечно, так как конечно их количество лишь для одного <math>x</math>, а множество самих <math>x</math> бесконечно.

С современной точки зрения ''действие'' имеет смысл [[фаза колебаний|фазы]] [[Волновая функция|волновой функции]] (правда, выраженной традиционно — для более прямой связи с классической механикой — в других единицах, а конкретно <math>S = \hbar \phivarphi</math>, где <math>S</math> — действие, <math>\phivarphi</math> — фаза в радианах, а <math>\hbar</math> — универсальная [[постоянная Планка]]).

Классическая физика (механика и теория поля) является высокочастотным и коротковолновым приближением квантовой, когда фазы волн очень велики (<math>S/\hbar >>\gg 1</math>), что означает, что при данных («классических») условиях эксперимента (характерные размеры, характерные импульсы и характерные энергии рассматриваемой задачи) квантовые поправки к классической теории будут достаточно малы (на практике чаще всего настолько малы, что экспериментально не обнаружимы). В этом случае квантовая задача в целом сильно упрощается, переходя в классическую, и можно пользоваться [[принцип наименьшего действия|принципом наименьшего действия]] и/или [[уравнение Гамильтона — Якоби|уравнением Гамильтона — Якоби]], в которых действие продолжает играть ключевую роль.

В квантовой же физике — при решении той же задачи без условия <math>S/\hbar >>\gg 1</math>, действие играет особенно большую роль в формализме фейнмановского интеграла по траекториям. Кроме того, часть результатов теории классического поля достаточно прямо переносится в определённом смысле на квантовый случай, а поскольку действие является одним из простейших объектов, манипуляции с ним (а прежде всего само написание действия для данной динамической системы — по́ля, частицы, взаимодействующих полей или частиц, или других объектов) часто являются одним из эффективнейших инструментов при формулировке квантовой теории различных полей, даже если это не связано с написанием интеграла по траекториям и работы с ним в явном виде.

[[Мопертюи, Пьер Луи де|Мопертюи]] в работах [[1740]](?), [[1741]]—[[1746]] гг. впервые сформулировал [[принцип наименьшего действия]] для механики и высказал мысль о том, что это универсальный закон природы, проинтерпретировав и оптику ([[принцип Ферма]]) в терминах действия (он использовал то, что сейчас принято называть [[#Терминология|укороченным действием]]). Мопертюи был склонен к теологической интерпретации этого принципа, свидетельствовавшего, по его мнению, об определённом совершенстве сотворённого Богом мира.

: <math>\oint \sum p_i\, d q_i = n \hbar</math> или (в декартовых координатах для одной частицы): <math>\oint \vec p \cdot \vec{dr} = n \hbar</math>.

: <math>S = \int\limits_{t_1}^{t_2} L(q,\;\dot q,\;t)\,dt</math>

: <math>S = \int\limits_{t_1}^{t_2} \bigg( \sum_i p_i \dot q_i - H(q,\;p,\;t) \bigg) \,dt.</math>.

Для механических [[Распределённая система|распределённых систем]] (например, для упругих сплошных сред) действие обычно может быть записано так:

: <math>S = \int \mathcal L(q,\;\dot q,\;x,\;t) dV dt\,dVdt</math>

: <math>S = \int \bigg( \sum_i p_i \dot q_i - \mathcal H(q,\;p,\;x,\;t) \bigg) dV dt\,dVdt,</math>,

где <math>dV</math> — элемент объёма, трёхмерный в случае описания полей в трёхмерном пространстве, <math>\mathcal L,\ \mathcal H</math> — плотности функции Лагранжа и функции Гамильтона, <math>q,\ \dot q</math> и <math>p</math> — полевые переменные (например, потенциалы), соответствующие скорости <math>\dot q = \partial q / \partial t</math> и канонически сопряженные импульсы. Каждая такая полевая переменная, скорость и импульс есть функция <math>q = q(x,\;y,\;z,\;t),\ \dot q = \dot q(x,\;y,\;z,\;t),\ p = p(x,\;y,\;z,\;t)</math> «пространственных» переменных и времени, представляя собой, таким образом, бесконечномерный (с учетомучётом физического представления о возможной атомной дискретизации распределённой системы — просто очень многомерный) вектор. Выделение отдельной координаты <math>q_i \in \R</math> сводится к разложению <math>q</math> по какому-то базису (это может быть, например, базис из дельта-функций, сводящий всё в сущности к пределу дискретной задачи, но, пожалуй, ещё чаще применяется из-за своего удобства [[преобразование Фурье]]).

: <math>S = \int \left( {\rho\over 2} (\dot u)^2 - {E\over 2}(\nabla u)^2 \right) dx dy dz dt\,dxdydzdt,</math>,

: где <math>\rho = \mathrm{const}</math> — плотность среды, <math>E = \mathrm{const}</math> — модуль упругости, <math>u = u(x,\;y,\;z,\;t)</math> — отклонение упругой среды в данной точке в данный момент времени от условного положения равновесия — это распределённая обобщенная координата (в данной задаче это трехмерныйтрёхмерный вектор, но именно при сформулированных условиях можно рассматривать каждую из его компонент отдельно), <math>\dot u</math> — скорость изменения ''<math>u''</math> со временем — распределённая скорость, тоже, конечно, функция ''<math>x,\ y,\ z,\ t''</math>. <math>\nabla</math> здесь — оператор градиента, который можно тут считать применяемым отдельно к каждой компоненте ''<math>u''</math>, при сложении затем квадратов трехтрёх компонент.

: Варьирование этого функционала по ''<math>u''</math> даёт уравнение движения в виде обычного [[волновое уравнение|волнового уравнения]] независимо для каждой компоненты ''<math>u''</math>, то есть для <math>u_x,\ u_y,\ u_z</math>.

: Выписанное действие легко может быть использовано и для неоднородной среды, то есть для непостоянных <math>\rho</math> и :<math>E</math>, также оно прямо обобщается на анизотропные среды с тензорным <math>E</math>. Во всех этих случаях уравнение движения среды будет уже заметно отличаться от обычного волнового, но может быть практически столь же легко получено варьированием этого действия.

: <math>S = S_f + S_\mathrm{int} + S_s</math>,

где <math>S_f</math> — «действие свободного поля» — которое существенно для изучения поведения поля без его взаимодействия с «веществом» (другими полями), <math>S_\mathrm{int}</math> — член взаимодействия, из которого выводится действие «вещества» (других полей) на данное поле, <math>S_s</math> — действие для свободного «вещества» (других полей), определяющее их поведение в отсутствие данного поля, в частности, такие свойства «вещества», как его инертность. Форма второго члена определяет в уравнениях поля члены, представляющие его источник(и), и определяет действие данного поля на «вещество» (другие поля), например, уравнения движения заряженной частицы в данном поле (конкретнее, силы, действующие на неё) выводятся из <math>S_\mathrm{int}</math> и <math>S_s</math>.

Однако для существенно нелинейных полей такое разбиение на три отдельных слагаемых, вообще говоря, не удаётся (и даже при вычленении линейного приближения зачастую остаются определенногоопределённого рода проблемы, хотя само по себе оно часто бывает осмысленно и возможно). Например, в [[ОТО|общей теории относительности]] (и других [[Альтернативные теории гравитации|метрических теориях гравитации]]) гравитационное поле попадает в член, касающийся «вещества» (и негравитационных полей) в виде метрики, входящей в элемент объёма и в ковариантные производные. Этот факт обеспечивает взаимодействие гравитации с «веществом», не требуя отдельного члена <math>S_\mathrm{int}</math> (случай так называемой [[минимальная связь|минимальной связи]]), и он же делает уравнение гравитационного поля существенно нелинейным. Другой пример (правда, относящийся к квантовой теории поля, но имеющий и аналогии в классической): квантовая электродинамика — её линейное приближение при расчёте по теории возмущений в петлевых диаграммах приводит к бесконечным бессмысленным результатам, связанным с действительной невозможностью выделить голые (затравочные, невзаимодействующие) поля заряженной частицы и электромагнитного поля. Путём решения этой проблемы стала программа перенормировок, которая восстанавливает лагранжиан действительных (взаимодействующих) полей.

Простейшим видом действия для скалярного поля <math>\phivarphi</math>, ведущим к линейному уравнению поля, является вид:

: <math>S = S_f + S_\mathrm{int} + S_s =

(записано в форме, соответствующей полю в трёхмерном пространстве; здесь <math>\alpha</math> — «силовая константа», <math>c</math> — скорость распространения волн поля <math>\phivarphi</math>, которая для фундаментальных полей обычно — чтобы не нарушался принцип относительности — полагается равной скорости света, <math>\nabla</math> — трёхмерный градиент, <math>m</math> — масса поля <math>\phivarphi</math> (<math>m = 0</math> для безмассовых полей), <math>dV</math> — элемент трёхмерного объёма). Как видим, <math>S_f</math> лоренц-инвариантно, и его очень легко переписать в четырёхмерных обозначениях, в которых это ещё более очевидно.

Будучи проварьировано по <math>\phivarphi</math> (для свободного поля, то есть для <math>S_\mathrm{int} = S_s = 0</math>), это действие даёт [[уравнение Клейна — Гордона]], а при ''<math>m'' = 0</math> — [[волновое уравнение]]. Случай <math>m^2 < 0</math> дает вариант уравнения Клейна — Гордона для [[тахион]]ного скалярного поля, которое также может иметь применение в теории (это поле с неустойчивым равновесием при <math>\phivarphi = 0</math> в бесконечном пространстве или без наложения граничных условий, приводящих к устойчивости).

* Член взаимодействия <math>S_\mathrm{int}</math> не будем здесь конкретизировать, так как мы не рассматриваем здесь какое-то конкретное скалярное поле и его взаимодействие с чем-то конкретным ещё. Однако заметим, что если мы не хотим нарушения принципа относительности, этот член должен быть также [[лоренц-инвариантность|лоренц-инвариантным]] (как и <math>S_f,\ S_s</math>). Например, для взаимодействия с другим скалярным полем <math>u</math> этот член может быть <math> \mathrm{const}\cdot\int \phivarphi u\, dV dtdVdt</math> или <math>\mathrm{const}' \cdot \int (\partial_i \phivarphi) (\partial^i u)\, d^4x</math> или их суммой и т. п.).

: <math>S = S_f + S_\mathrm{int} + S_s,</math>,

: <math>S_\mathrm{int} = - \int A_i j^i dx dy dz dt\,dxdydzdt</math>

: <math>S_{int} = - \int q A_i u^i \,d\tau = - \frac{1}{c}\int q A_i \,dx^i = \int (- q \phivarphi + q \vec A \cdot \vec v /c) \,dt,</math>,

(первая форма удобна для вывода уравнения (уравнений) поля (с источниками), а второе — для вывода уравнения движения заряженной частицы; здесь <math>A_i</math> — [[электромагнитный потенциал]], <math>q</math> — заряд частицы, <math>u^i</math> — [[4-скорость]], <math>d\tau</math> — дифференциал собственного времени (интервала, деленного на <math>c</math>), <math>\phivarphi</math> и <math>\vec A</math> — электрический и трёхмерный векторный потенциал, <math>\vec v</math> — трёхмерная скорость, <math>c</math> — скорость света, а <math>dx^i = (dx^0,\;dx^1,\;dx^2,\;dx^3) = (c \,dt, \;dx,\;dy,\;dz)</math> — четырёхмерные пространственно-временные координаты; для нескольких частиц следует взять несколько членов такого вида — по одному для каждой),

: <math>S_s</math> — действие для «вещества» (свободных частиц), которое вместе с <math>S_\mathrm{int}</math> используется для вывода уравнений движения заряженных частиц. Для быстрых («релятивистских») частиц (см. ниже) следует взять (в пренебрежении спином) действие

: <math>S_s = -\int m c^2 \,d\tau = -\int m c^2 \sqrt{1 - v^2/c^2} \,dt,</math>,

: <math>S_s = \int \frac{m v^2}{2} \,dt.</math>.

: <math>d p^i/d\tau = m d u\,du^i / d\tau = q F^i_j u^j,</math>,

: <math>\frac {d \mathbf p}{dt} = q \mathbf E + q\ \mathbf v \times \mathbf B.</math>.

Однако действие классической (ньютоновской) механики, не важно, в какой форме оно записано, гамильтоновой или лагранжевой, не обладает свойством лоренц-инвариантности. Исторически в определенныйопределённый момент (на грани XIX и XX веков) возникла необходимость привести механику в соответствие с принципом относительности, а значит, сделать её лоренц-ковариантной. Простейший путь для этого — написать для частицы («материальной точки») такое действие, которое бы было лоренц-инвариантным, а затем обычной процедурой варьирования получить из него уравнение движения, которое будет уже лоренц-ковариантным (приближённо, при медленных движений, такая механика должна совпадать с ньютоновской, так как та хорошо проверена для малых скоростей).

: <math>S = - \int mc^2 \,d\tau = - \int mc\ ,ds = -mc^2 \int u^i u_i\ ,d\tau = - mc^2 \int \sqrt{1 - v^2/c^2}\ ,dt,</math>,

: <math>S = - mc^2 \int \sqrt{1 - v^2/c^2} \,dt \approx \int \left(-mc^2 + \frac{mv^2}{2}\right) \,dt = \mathrm{const}\cdot (t_2 - t_1) + \int \frac{mv^2}{2} \,dt = \mathrm{const}\cdot (t_2 - t_1) + S_\mathrm{newtonian},</math>,

где первый член можно отбросить, так как он не даёт никакого вклада в уравнения движения (за исключением вклада в уравнения гравитационного поля, в которых его влияние не исчезает даже в этом приближении; здесь же идетидёт речь об уравнениях движения самой частицы, для которой написано действие, а гравитация в эйнштейновском смысле не рассматривается). При желании можно в проделанном разложении сохранить и члены следующих порядков по <math>v^2/c^2</math>, дающие релятивистские поправки для случая малых скоростей (вместо того, чтобы использовать точное релятивистское действие и точные уравнения движения, если такое почему-либо целесообразно).

<math>S = {1 \over 16\pi G}\int (\nabla \phivarphi)^2 \,dxdydzdt + S_m,</math>,

где <math>S_m</math> — действие «материи», как принято говорить в теориях гравитации — то есть всего, кроме гравитации, а <math>\nabla \phivarphi</math> — трехмерный градиент гравитационного потенциала (что означает бесконечную скорость распространения гравитационного взаимодействия). Эта величина явно не [[лоренц-инвариантность|лоренц-инвариантна]], поэтому, как и вся классическая механика, может распространяться — приближённо — на случай медленного (в сравнении со скоростью света) движения и не очень сильных гравитационных полей (хотя бы потому, что сильные поля, вообще говоря, будут разгонять тела до больших скоростей). Есть много теорий, которые тем или иным образом вносили поправки в это действие с целью сделать его лоренц-инвариантным (см. [[Альтернативные теории гравитации]]), однако большинство из них имеют сейчас только историческое значение или наоборот пока не доказали научному сообществу своих преимуществ. Также некоторые перспективные для описания гравитации (хотя и тоже довольно далёкие от окончательного утверждения) теории, такие, как, например, [[теория струн]] и её обобщения, к тому же достаточно сложны и охватывают не только гравитацию, поэтому заслуживают отдельного рассмотрения.

: <math>S={1\over 16\pi G}\int R \sqrt{-g}\,d^4 x+S_m\,,</math>

Член уравнения, описывающий источник гравитационного поля (правая часть) получается при этом потому, что метрика <math>g_{\mu\nu}</math>, по которой осуществляется варьирование, входит и в <math>S_m = \int \mathcal L \sqrt{-g}\,d^4x</math> как минимум через множитель <math>\sqrt{-g}</math>, входящий в выражение элемента (четырёхмерного) объёма (здесь <math>\mathcal L</math> — плотность функции Лагранжа для «вещества» — то есть всех негравитационных полей, а <math>T_{\mu\nu}</math> — их [[тензор энергии-импульса]]).

Дополняя же написанное выше действие членом <math>\int \Lambda \sqrt{-g}\,d^4 x</math>, получаем уравнения Эйнштейна с <math>\Lambda</math>-членом:

: <math>R_{\mu\nu} - {R \over 2} g_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = {8 \pi G \over c^4} T_{\mu\nu}.</math>

: <math>S = \int \sum_i\Psi^+(x) \gamma_i \Psi(x) \,d^4x</math>

Если действие ''<math>S[x]''</math> (в сущности, совпадающее с обычным классическим действием, по крайней мере для систем, описание которых не настолько экзотично, чтобы затруднять такое словоупотребление) известно, то есть его можно написать для обычной классической траектории <math>x(\tau)</math> в «обычном» или конфигурационном пространстве (<math>\tau</math> может быть временем или просто переменной при параметрическом задании в четырёхмерной записи), то квантовая [[волновая функция]] такой системы c точечным источником в пространственно-временной точке <math>x_1</math><ref>В сущности в такой формулировке речь идет о [[пропагатор]]е ([[функция Грина|функции Грина]]).</ref> может быть записана в виде [[функциональный интеграл|функционального интеграла]]

: <math>\Psi(x_2,\;x_1) = \int Dx e^{iS[x]/\hbar},</math>,

где ''<math>x''</math> — траектория, начинающаяся в <math>x_1</math> и кончающаяся в <math>x_2</math>, интеграл означает суммирование по всем мыслимым таким траекториям, для каждой из которых действие ''<math>S[x]''</math> имеет своё значение. Причём в релятивистском случае среди траекторий есть и траектории с участками обратного движения во времени, которые могут быть интерпретированы как траектории виртуальной античастицы во времени вперед, а точки поворота — как виртуальное рождение и уничтожение пар частица-античастица.

Однако квантование с помощью интеграла по траекториям не ограничено теорией возмущений (диаграммами Фейнмана). Этот способ находит и более нетривиальные применения, как в теоретической физике, так и в некоторых областях чистой математики.<ref>{{статья|автор=Witten E.|заглавие=Quantum field theory and the Jones polynomial|издательство=Commun. Math. Phys.|год=1989|том=121|выпуск=3|страницы=351-399351—399|doi=10.1007/BF01217730}}</ref><ref>{{статья|автор=Alvarez-Gaume L.|заглавие=Supersymmetry and the Atiyah-Singer index theorem|издательство=Commun. Math. Phys.|год=1983|том=90|выпуск=2|страницы=161-173161—173|doi=10.1007/BF01205500}}</ref><ref>{{статья|автор=Kontsevich, M.|заглавие=Deformation quantization of Poisson manifolds|ссылка=http://arxiv.org/abs/q-alg/9709040|издательство=Letters in Math. Phys.|год=2003|том=66|выпуск=3|страницы=157-216157—216|doi=10.1023/B:MATH.0000027508.00421.bf}}</ref>

Правила квантовой механики очень успешно применяются в описании микроскопических объектов, типа [[атом]]ов и [[элементарные частицы|элементарных частиц]]. С другой стороны, [[эксперимент]]ы показывают, что разнообразные макроскопические системы ([[пружина]], [[конденсатор]] и  т. д.) можно достаточно точно описать в соответствии с классическими теориями, используя [[классическая механика|классическую механику]] и [[электромагнетизм|классическую электродинамику]] (хотя существуют макроскопические системы, демонстрирующие квантовое поведение, например, [[сверхтекучесть|сверхтекучий]] [[жидкий гелий]] или [[Сверхпроводимость|сверхпроводники]]). Однако, весьма разумно полагать, что окончательные законы физики должны быть независимыми от размера описываемых физических объектов. Это предпосылка для принципа соответствия Бора, который утверждает, что классическая физика должна появиться как приближение к квантовой физике, поскольку системы становятся ''большими''.

Формулировка Дирака, называемая также '''«Принцип соответствия Дирака»''': «Соответствие между квантовой и классической теориями состоит не столько в предельном согласии при <math> \hbar \rightarrowto 0 </math>, сколько в том, что математические операции двух теорий подчиняются во многих случаях тем же законам.»<ref>{{книга |автор = Дирак П. А. М.|часть = |заглавие = Собрание научных трудов|место = М.|издательство = Физматлит|год = 2003|том = II Квантовая теория (научные статьи 1924-19471924—1947)|страницы = 67}}</ref><ref>{{книга|автор=Дирак П. А. М.|заглавие=К созданию квантовой теории поля. Основные статьи 1925-19581925—1958|место=М|издательство=Наука|год=1990|страниц=368|страницы=34}}</ref>

В формулировке квантовой механики через [[Формулировка через интегралы по траекториям|интегралы по траекториям]] траектории, дающие значение [[Действие (механика)|действия]], заметно отличающиеся от стационарного (определяемого исходя из [[Принцип наименьшего действия|принципа наименьшего действия]]), дают малый вклад в итоговую [[Амплитуда вероятности|амплитуду перехода]] (бесконечно малый при <math>S_\mathrm{min} \to \infty</math>). Таким образом в квазиклассическом приближении <math>S_\mathrm{min} \to \infty</math> амплитуда перехода определяется лишь классическими траекториями частиц (в простейшем случае движения в пространстве такая траектория единственна), определяемыми из [[Принцип наименьшего действия|принципа наименьшего действия]], а [[уравнение Шрёдингера]] переходит в [[уравнение Гамильтона — Якоби]].