Формула Герона: различия между версиями

64 байта убрано ,  1 год назад
(→‎Преамбула: орфография)
[[ч.т.д.]]}}
 
== Вариации и обобщения==
*Выразив полупериметр через полусумму всех сторон данного треугольника, можно получить три эквивалентные формулы Герона:
*: <math>S = \frac{1}{4} \sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}</math>
*: <math>S = \frac{1}{4} \sqrt{2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}</math>
*: <math>S = \frac{1}{4} \sqrt{(a+b-c) (a-b+c) (-a+b+c) (a+b+c)}.</math>
*: <math>S = \frac{1}{4} \sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}.</math>
 
*Формулу Герона можно записать с помощью [[определитель|определителя]] в виде<ref> Weisstein, Eric W. [http://mathworld.wolfram.com/HeronsFormula.html Heron’s Formula.] From MathWorld--A Wolfram Web Resource. </ref>:
*: <math>-16 S^2 = \begin{vmatrix}
0 & a^2 & b^2 & 1 \\
a^2 & 0 & c^2 & 1 \\
\end{vmatrix}
</math>
:Первый определитель последней формулы является частным случаем {{iw|определитель Кэли — Менгера|определителя Кэли — Менгера||Cayley-Menger determinant}} для вычисления гиперобъёма [[симплекс]]а.
 
*Ряд формул для площади треугольника сходен по структуре формуле Герона, но выражается через другие параметры треугольника. Например, через длины медиан <math>m_a</math>, <math>m_b</math> и <math>m_c</math> и их полусумму <math>\sigma = (m_a + m_b + m_c)/2</math><ref>Benyi, Arpad, "A Heron-type formula for the triangle, « ''Mathematical Gazette» 87, July 2003, 324—326.</ref>:
*: <math>S = \frac{4}{3} \sqrt{\sigma (\sigma - m_a)(\sigma - m_b)(\sigma - m_c)}</math>;
:через длины высот <math>h_a</math>, <math>h_b</math> и <math>h_c</math> и полусумму их обратных величин <math>H = (h_a^{-1} + h_b^{-1} + h_c^{-1})/2</math><ref>Mitchell, Douglas W., "A Heron-type formula for the reciprocal area of a triangle, " ''Mathematical Gazette'' 89, November 2005, 494.</ref>:
:: <math> S^{-1} = 4 \sqrt{H(H-h_a^{-1})(H-h_b^{-1})(H-h_c^{-1})} </math>;
:через углы треугольника <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> и <math>\gamma</math>, полусумму их синусов <math>s = (\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma)/2</math> и диаметр описанной окружности <math>D = \tfrac{a}{\sin \alpha} = \tfrac{b}{\sin \beta} = \tfrac{c}{\sin \gamma}</math><ref>Mitchell, Douglas W., "A Heron-type area formula in terms of sines, " ''Mathematical Gazette'' 93, March 2009, 108—109.</ref>:
:: <math>S = D^{2} \sqrt{s(s-\sin \alpha)(s-\sin \beta)(s-\sin \gamma)}.</math>
 
Сходные формулы возможны и для более сложных фигур, например площадь*Площадь вписанного в окружность [[четырёхугольник]]а вычисляется по [[Формула Брахмагупты|формуле Брахмагупты]]:
*: <math>S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}</math>,
:где <math>p=\frac{a+b+c+d}2</math> — полупериметр четырёхугольника; в данном случае треугольник оказывается предельным случаем вписанного четырёхугольника при устремлении длины одной из сторон к нулю. Та же формула Брахмагупты через определитель<ref>Стариков В. Н. Заметки по геометрии// Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические науки: сборник научных трудов. Выпуск 1/ Гл ред. Романова И .В Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. С. 37-39</ref>:
:: <math>S= \frac{1}{4} \sqrt{- \begin{vmatrix}
a & b & c & -d \\
b & a & -d & c \\
</math>
 
*Для [[тетраэдр]]ов верна [[формула Герона — Тартальи]], которая обобщена также на случай других многогранников ([[изгибаемые многогранники]]): если у [[тетраэдр]]а длины рёбер равны <math>l_1, l_2, l_3, l_4, l_5, l_6</math>, то для его объёма <math>V</math> верно выражение:
*: <math>\begin{align}144 V^2 = \;\; & l_1^2 l_5^2 (l_2^2 + l_3^2 + l_4^2 + l_6^2 - l_1^2 - l_5^2) \\
+ & l_2^2 l_6^2 (l_1^2 + l_3^2 + l_4^2 + l_5^2 - l_2^2 - l_6^2) \\
+ & l_3^2 l_4^2 (l_1^2 + l_2^2 + l_5^2 + l_6^2 - l_3^2 - l_4^2) \\
\end{align}</math>.
 
*Формула Герона — Тартальи может быть выписана для тетраэдра в явном виде: если <math>U</math>, <math>V</math>, <math>W</math>, <math>u</math>, <math>v</math>, <math>w</math> являются длинами рёбер тетраэдра (первые три из них образуют треугольник; и, например, ребро <math>u</math> противоположно ребру <math>U</math> и так далее), тогда справедливы формулы<ref>W. Kahan, «What has the Volume of a Tetrahedron to do with Computer Programming Languages?», [http://www.cs.berkeley.edu/~wkahan/VtetLang.pdf], pp. 16-17.</ref><ref> Маркелов С. Формула для объёма тетраэдра// Математическое просвещение. Вып. 6. 2002. С. 132 </ref>:
*: <math>
\text{V} = \frac{\sqrt {\,( - a + b + c + d)\,(a - b + c + d)\,(a + b - c + d)\,(a + b + c - d)}}{192\,u\,v\,w}</math>
:где:
:: <math>
\begin{align} a & = \sqrt {xYZ} \\ b & = \sqrt {yZX} \\ c & = \sqrt {zXY} \\ d & = \sqrt {xyz} \\ X & = (w - U + v)\,(U + v + w) \\ x & = (U - v + w)\,(v - w + U) \\ Y & = (u - V + w)\,(V + w + u) \\ y & = (V - w + u)\,(w - u + V) \\ Z & = (v - W + u)\,(W + u + v) \\ z & = (W - u + v)\,(u - v + W) \end{align}
</math>.
 
*По теореме [[Люилье, Симон|Люилье]] площадь [[сферический треугольник|сферического треугольника]] выражается через его стороны <math>\theta_a = \frac{a}{R}, \theta_b = \frac{b}{R}, \theta_c = \frac{c}{R}</math> как:
*: <math>S = 4R^2\,\operatorname{arctg}\sqrt{ \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s}{2}\right) \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s - \theta_a}{2}\right) \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s - \theta_b}{2}\right) \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s - \theta_c}{2}\right)} </math>,
:где <math>\theta_s = \frac{\theta_a + \theta_b + \theta_c}{2}</math> — полупериметр.
 
== Примечания ==