Икосододекаэдр: различия между версиями

35 байт добавлено ,  2 месяца назад
Нет описания правки
 
'''Икосододека́эдр'''{{sfn|Веннинджер|1974|с=20, 36}}{{sfn|Энциклопедия элементарной математики|1963|с=437, 435}}{{sfn|Люстерник|1956|с=183}} — [[полуправильный многогранник]] (архимедово тело) с 32 гранями, составленный из 20 [[правильный треугольник|правильных треугольников]] и 12 [[правильный пятиугольник|правильных пятиугольников]].
 
В каждой из его 30 одинаковых вершин сходятся две пятугольныхпятиугольных грани и две треугольных. [[Телесный угол]] при вершине равен <math>\pi + \arccos \frac{3+16\sqrt5}{45} \approx 1{,}17\pi.</math>
 
Икосододекаэдр имеет 60 рёбер равной длины. [[Двугранный угол]] при любом ребре одинаков и равен <math>\arccos\left(-\sqrt{\frac{5+2\sqrt5}{15}}\right) \approx 142,62^\circ.</math>
Икосододекаэдр с длиной ребра <math>2</math> можно расположить в [[Прямоугольная система координат|декартовой системе координат]] так, чтобы координаты его вершин были всевозможными [[Циклическая перестановка|циклическими перестановками]] наборов чисел
 
* <math>\left(0;\;0;\;\pm2\Phi\right),</math>
* <math>\left(\pm1;\;\pm\Phi;\;\pm\Phi^2\right),</math>
 
где <math>\Phi = \frac{1+\sqrt5}{2}</math> — отношение [[Золотое сечение|золотого сечения]].
Радиус описанной [[Сфера|сферы]] (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен
 
:<math>R = \frac{1}{2}\left(1+\sqrt5\right)a = \Phi a \approx 1{,}6180340a,</math>
 
радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —