Дифференциальная форма: различия между версиями

308 байт добавлено ,  3 месяца назад
Нет описания правки
* Факторгруппа <math>H^k_{dR} = \bar\Omega_{k} / d\Omega_{k-1}</math> замкнутых ''k''-форм по точным ''k''-формам называется '''<math>k</math>-мерной группой когомологий де Рама'''. [[Когомологии де Рама#Теорема де Рама|Теорема де Рама]] утверждает, что она изоморфна ''k''-мерной группе [[Сингулярные когомологии|сингулярных когомологий]].
* '''Внутренней производной''' формы <math>\omega</math> степени <math>n</math> по векторному полю <math>\mathbf{v}</math> (также '''подстановкой''' векторного поля в форму) называется форма
*: <math>i_\mathbf{v} \omega (u_1, \dots, u_{n-1}) = \omega(\mathbf{v}, u_1, \dots, u_{n-1})</math>
 
== Свойства ==
 
* Внешнее дифференцирование линейно и удовлетворяет градуированному [[Правило Лейбница|правилу Лейбница]]:
*: <math>\ d (\omega^k \wedge\omega^p) = (d\omega^k) \wedge\omega^p + (-1)^{k}\omega^k \wedge(d \omega^p)</math>
 
* Внутренняя производная линейна и удовлетворяет градуированному [[Правило Лейбница|правилу Лейбница]]:
*: <math>i_X (\omega^k \wedge\omega^p) = (i_X\omega^k) \wedge\omega^p + (-1)^{k}\omega^k \wedge(i_X \omega^p)</math>
 
* ''Формула Картана.'' Для произвольной формы <math>\omega</math> и векторного поля <math>X</math> выполняется соотношение