Произведение Кронекера: различия между версиями

нет описания правки
(отклонены последние 3 изменения (Swadim): ссылки случайные (копипаста из англовики), почему «также» — не объясено (это должно быть в тексте статьи))
Метка: ручная отмена
Нет описания правки
Метка: редактор вики-текста 2017
 
Произведение Кронекера названо в честь [[Кронекер, Леопольд|Леопольда Кронекера]], несмотря даже на то, что существует мало свидетельств о том, что он был первым, кто определил и использовал эту операцию. В прошлом произведение Кронекера иногда называли ''матрицей Зефусса''.
 
==Связанные матричные операции==
 
В случае блочных матриц могут использоваться матричные операции, связанные c произведением Кронекера и отличающиеся порядком соответствующего перемножения блоков. Таковыми являются произведения Трейси – Сингха ({{lang-en|Tracy–Singh product}}) и [[произведение Хатри–Рао]].
 
=== Произведение Трейси-Сингха ===
Указанная операция перемножения блочных матриц заключается в том, что каждый блок левой матрицы умножается последовательно на блоки правой матрицы. При этом формируемая структура результирующей матрицы, отличающаяся от характерной для произведения Кронекера.
Произведение Трейси – Сингха определяется как<ref>{{cite journal |last=Tracy |first=D. S. |last2=Singh |first2=R. P. |year=1972 |title=A New Matrix Product and Its Applications in Matrix Differentiation |journal=Statistica Neerlandica |volume=26 |issue=4 |pages=143–157 |doi=10.1111/j.1467-9574.1972.tb00199.x }}</ref><ref>{{cite journal |last=Liu |first=S. |year=1999 |title=Matrix Results on the Khatri–Rao and Tracy–Singh Products |journal=Linear Algebra and Its Applications |volume=289 |issue=1–3 |pages=267–277 |doi=10.1016/S0024-3795(98)10209-4 }}</ref>
 
:<math>\mathbf{A} \circ \mathbf{B} = \left(\mathbf{A}_{ij} \circ \mathbf{B}\right)_{ij} = \left(\left(\mathbf{A}_{ij} \otimes \mathbf{B}_{kl}\right)_{kl}\right)_{ij}</math>
 
Например:
:<math> \mathbf{A} =
\left[
\begin{array} {c | c}
\mathbf{A}_{11} & \mathbf{A}_{12} \\
\hline
\mathbf{A}_{21} & \mathbf{A}_{22}
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array} {c c | c}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
\hline
7 & 8 & 9
\end{array}
\right]
,\quad
\mathbf{B} =
\left[
\begin{array} {c | c}
\mathbf{B}_{11} & \mathbf{B}_{12} \\
\hline
\mathbf{B}_{21} & \mathbf{B}_{22}
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array} {c | c c}
1 & 4 & 7 \\
\hline
2 & 5 & 8 \\
3 & 6 & 9
\end{array}
\right]
,
</math>
 
:<math>\begin{align}
\mathbf{A} \circ \mathbf{B}
= \left[\begin{array} {c | c}
\mathbf{A}_{11} \circ \mathbf{B} & \mathbf{A}_{12} \circ \mathbf{B} \\
\hline
\mathbf{A}_{21} \circ \mathbf{B} & \mathbf{A}_{22} \circ \mathbf{B}
\end{array}\right]
={} &\left[\begin{array} {c | c | c | c}
\mathbf{A}_{11} \otimes \mathbf{B}_{11} & \mathbf{A}_{11} \otimes \mathbf{B}_{12} & \mathbf{A}_{12} \otimes \mathbf{B}_{11} & \mathbf{A}_{12} \otimes \mathbf{B}_{12} \\
\hline
\mathbf{A}_{11} \otimes \mathbf{B}_{21} & \mathbf{A}_{11} \otimes \mathbf{B}_{22} & \mathbf{A}_{12} \otimes \mathbf{B}_{21} & \mathbf{A}_{12} \otimes \mathbf{B}_{22} \\
\hline
\mathbf{A}_{21} \otimes \mathbf{B}_{11} & \mathbf{A}_{21} \otimes \mathbf{B}_{12} & \mathbf{A}_{22} \otimes \mathbf{B}_{11} & \mathbf{A}_{22} \otimes \mathbf{B}_{12} \\
\hline
\mathbf{A}_{21} \otimes \mathbf{B}_{21} & \mathbf{A}_{21} \otimes \mathbf{B}_{22} & \mathbf{A}_{22} \otimes \mathbf{B}_{21} & \mathbf{A}_{22} \otimes \mathbf{B}_{22}
\end{array}\right] \\
={} &\left[\begin{array} {c c | c c c c | c | c c}
1 & 2 & 4 & 7 & 8 & 14 & 3 & 12 & 21 \\
4 & 5 & 16 & 28 & 20 & 35 & 6 & 24 & 42 \\
\hline
2 & 4 & 5 & 8 & 10 & 16 & 6 & 15 & 24 \\
3 & 6 & 6 & 9 & 12 & 18 & 9 & 18 & 27 \\
8 & 10 & 20 & 32 & 25 & 40 & 12 & 30 & 48 \\
12 & 15 & 24 & 36 & 30 & 45 & 18 & 36 & 54 \\
\hline
7 & 8 & 28 & 49 & 32 & 56 & 9 & 36 & 63 \\
\hline
14 & 16 & 35 & 56 & 40 & 64 & 18 & 45 & 72 \\
21 & 24 & 42 & 63 & 48 & 72 & 27 & 54 & 81
\end{array}\right].
\end{align}</math>
 
 
=== Произведение Хатри-Рао ===
{{main|произведение Хатри-Рао}}
Данный вариант умножения определён для матриц с одинаковой блочной структурой. Он предусматривает, что операция кронекеровского произведения выполняется поблочно, в пределах одноимённых матричных блоков по аналогии с поэлементным [[произведение Адамара|произведением Адамара]], только при этом в качестве элементов фигурируют блоки матриц, а для умножения блоков используется кронекеровское произведение.
 
{{нет ссылок|дата=7 июня 2019}}