Правильный пятиугольник: различия между версиями

|площадь=<math>\frac{{t^2 \sqrt {25 + 10\sqrt 5 } }}{4} =</math><BR><math>\frac{5R^2}{4}\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}};</math>

|угол=108°

}}

 

* У [[правильный многоугольник|правильного]] пятиугольника угол равен

:: <math>\alpha =\frac{(n - 2)}{n} \cdot 180^\circ = \frac{3}{5} \cdot 180^\circ = 108^\circ</math>

:: <math>S = \frac{5}{4} t^2 \mathop{\mathrm{ctg}}\, \frac{\pi}{5} = \frac{\sqrt 5 \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}}{4} t^2 = \frac{5}{12}Rd = \frac{5}{2} R^2 \sin \frac{2 \pi}{5} = 5 r^2 \mathop{\mathrm{tg}}\, \frac{\pi}{5}</math>,

: где <math>R</math> — [[радиус]] описанной [[окружность|окружности]], <math>r</math> — радиус вписанной окружности, <math>d</math> — [[диагональ]], <math>t</math> — сторона.

:: <math>S = \frac{\sqrt 5 \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}}{4} t^2 \approx 1{,}72048 ~t^2</math>

 

* Отношение площадей правильного пятиугольника и другого правильного пятиугольника, образованного пересечением диагоналей исходного (середина пятиугольной звезды)

:: <math>\frac{S}{s} = \Phi^4 = 3\Phi + 2 = \frac{3\sqrt{5} + 7}{2} \approx 6{,}8541</math>