Плоскость: различия между версиями

374 байта добавлено ,  6 месяцев назад
отмена правки 108855570 участника 178.168.180.132 (обс.)
(оформление, стилевые правки)
(отмена правки 108855570 участника 178.168.180.132 (обс.))
[[Файл:PlaneIntersection.png|right|thumb|Две пересекающиеся плоскости]]
'''Пло́скость''' — одно из основных понятий [[геометрия|геометрии]]. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется [[аксиома]]ми геометрии.
 
'''Пло́скость''' — это [[поверхность]] или [[Фигура (геометрия)|фигура]], образованная кинематическим движением образующей по направляющей, представляющей собой прямую (начертательная геометрия).
 
== Некоторые характеристические свойства плоскости ==
В трёхмерном пространстве одним из важнейших способов определения плоскости является указание точки на плоскости и вектора нормали к ней.
 
Допустим, '''<math>r_0</math>''' является радиусом-вектором точки <math>P_0</math>, заданной на плоскости, и допустим, что '''n''' - — это ненулевой вектор, перпендикулярный к плоскости (нормаль). Идея состоит в том, что точка <math>P</math> с радиусом-вектором '''r''' находится на плоскости тогда и только тогда, когда вектор, проведённый от <math>P_0</math> к <math>P</math>, перпендикулярен '''n'''.
 
Вернёмся к тому, что два вектора являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Отсюда следует, что нужная нам плоскость может быть выражена как множество всех точек '''r''' таких, что:
что является знакомым нам уравнением плоскости.
 
'''Например:'''
Дано: точка на плоскости <math>P(2,6,-3)</math> и вектор нормали <math>N(9,5,2)</math>.
 
<center><math>d=\frac{\mid[\bar r_2 - \bar r_1, \bar n]\mid}{\mid\bar n\mid}</math></center>
 
[[Файл:Relations between planes.png|thumb|300px|right|Типы взаимного расположения трёх или менее плоскостей. В частности, 4 тип  — пересечение двух плоскостей, 11 тип  — плоскость E<sub>3</sub> проходит через линию пересечения плоскостей E<sub>1</sub> и E<sub>2</sub>, 12 тип  — пересечение трёх плоскостей в точке ]]
 
== Связанные понятия ==
* '''Плоскости перпендикулярны''', если
 
: <math>A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0</math> или <math>(\mathbf{N_1}, \mathbf{N_2})=0</math>. (Скалярное произведение)
 
* '''Пучок плоскостей''' — все плоскости, проходящие через линию пересечения двух плоскостей. Уравнение пучка плоскостей, то есть любой плоскости, проходящей через линию пересечения двух плоскостей, имеет вид<ref name="Vect">{{книга|автор=Гусятников П.Б., Резниченко С.В.|заглавие=Векторная алгебра в примерах и задачах|место={{М}}|издательство=[[Высшая школа (издательство)|Высшая школа]]|год=1985|страниц=232|ссылка=http://reslib.com/book/Vektornaya_algebra_v_primerah_i_zadachah}}</ref>{{rp|222}}:
: <math>\alpha(A_1x+B_1y+C_1z+D_1)+\beta(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0,</math>
 
: где <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> — любые числа, не равные одновременно нулю. Уравнение самой этой линии можно найти из уравнения пучка, подставляя α=1, β=0 и α=0, β=1.
 
* '''Связка плоскостей'''  — все плоскости, проходящие через точку пересечения трёх плоскостей<ref name="Vect"/>{{rp|224}}. Уравнение связки плоскостей, то есть любой плоскости, проходящей через точку пересечения трёх плоскостей, имеет вид:
 
: <math>\alpha(A_1x+B_1y+C_1z+D_1)+\beta(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)+\gamma(A_3x+B_3y+C_3z+D_3)=0,</math>
 
: где <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> и <math>\gamma</math> — любые числа, не равные одновременно нулю. Саму эту точку можно найти из уравнения связки, подставляя α=1, β=0, γ=0; α=0, β=1, γ=0 и α=0, β=0, γ=1 и решая получившуюся систему уравнений.
 
== m-плоскость в пространстве <math>R^n</math> ==
Пусть дано n-мерное аффинное-конечномерное пространство <math>K^n(V,P)</math>, над полем действительных чисел. В нём выбрана [[прямоугольная система координат]] <math>O, \vec{e_1},...,\vec{e_n}</math>. ''m-плоскостью'' называется множество точек <math>\alpha</math>, радиус векторы которых удовлетворяют следующему соотношению <math> \alpha = \{x \mid x = A_{nm}\vec{t_m} + \vec{d}\}.</math> <math>A_{nm}</math> - — матрица, столбцы которой образует направляющие подпространство плоскости, <math>\vec{t}</math> - — вектор переменных, <math>\vec{d}</math> - — радиус-вектор одной из точек плоскости.<br />
Указанное соотношение можно из матрично-векторного вида перевести в векторный:<br />
<math> x = \vec{a_1}t_1 + \ldots + \vec{a_m}t_m + d, \vec{a_i} \in V</math> - — векторное уравнение m-плоскости.<br />
Вектора <math>\vec{a_i}</math> образуют направляющее подпространство. Две m-плоскости <math>\alpha, \beta</math> называются ''параллельными'', если их направляющие пространства совпадают и <math> \exists x \in \alpha : x \notin \beta </math>.
<p> (n-1)-плоскость в n-мерном пространстве называется ''[[гиперплоскость]]ю'' или просто ''плоскостью''. Для гиперплоскости существует общее уравнение плоскости. Пусть <math>\vec{n}</math> - — нормальный вектор плоскости, <math> \vec{r} = (x^1,...,x^n)</math> - — вектор переменных, <math>\vec{r_0}</math> - — радиус вектор точки, принадлежащей плоскости, тогда:<br />
<math> (\vec{r} - \vec{r_0}, \vec{n}) = 0 </math> - — общее уравнение плоскости. <br />
Имея матрицу направляющих векторов, уравнение можно записать так: <math> \det(\vec{r} - \vec{r_0} | A_{n,n-1}) = 0</math>, или:<br />
<math>\begin{vmatrix} x^1 - x_{0}^1 & a_{1}^1 & a_{2}^1 & ... & a_{n-1}^1 \\ x^2 - x_{0}^2 & a_{1}^2 & a_{2}^1 & ... & a_{n-1}^2 \\ ... & ... & ... & ... \\ x^n - x_{0}^n & a_{1}^n & a_{2}^n & ... & a_{n-1}^n \end{vmatrix} = 0 </math>.<br />
''Углом между плоскостями'' называется наименьший угол между их нормальными векторами. </p>
 
=== Примеры m-плоскостей ===
# Примером 1-плоскости в трёхмерном пространстве (n=3) служит [[прямая]]. Её векторное уравнение имеет вид: <math> \alpha = \{a_x,a_y,a_z\}t + \{b_x,b_y,b_z\}</math>. В случае n = 2 прямая является гиперплоскостью.
# Гиперплоскость в трёхмерном пространстве соответствует привычному понятию плоскости.
 
== См. также ==