Плоскость: различия между версиями

12 байт добавлено ,  6 месяцев назад
оформление, дополнение
(дополнение, оформление, источники)
(оформление, дополнение)
: где <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> и <math>\gamma</math> — любые числа, не равные одновременно нулю. Саму эту точку можно найти из уравнения связки, подставляя α=1, β=0, γ=0; α=0, β=1, γ=0 и α=0, β=0, γ=1 и решая получившуюся систему уравнений.
 
== Вариации и обобщения ==
== m-плоскость в пространстве <math>R^n</math> ==
 
Пусть дано n-мерное аффинное-конечномерное пространство <math>K^n(V,P)</math>, над полем действительных чисел. В нём выбрана [[прямоугольная система координат]] <math>O, \vec{e_1},...,\vec{e_n}</math>. ''m-плоскостью'' называется множество точек <math>\alpha</math>, радиус векторы которых удовлетворяют следующему соотношению <math> \alpha = \{x \mid x = A_{nm}\vec{t_m} + \vec{d}\}.</math> <math>A_{nm}</math> — матрица, столбцы которой образует направляющие подпространство плоскости, <math>\vec{t}</math> — вектор переменных, <math>\vec{d}</math> — радиус-вектор одной из точек плоскости.<br>
=== Плоскости в неевклидовом пространстве ===
СвйостваСвойства плоскости зависят от объемлющего пространства, которое не обязано быть [[Евклидово пространство|евклидовым]]. Специфические понятия прямых и плоскостей можно ввести в [[Проективное пространство|проективном]], [[Аффинное пространство|аффинном]], [[Пространство Лобачевского|гиперболическом]] и [[Эллиптическая геометрия[|эллиптическом пространстве]]<ref name=ME/>.
 
=== Многомерные плоскости ===
Пусть дано n-мерное аффинное-конечномерное пространство <math>K^n(V,P)</math>, над полем действительных чисел. В нём выбрана [[прямоугольная система координат]] <math>O, \vec{e_1},...,\vec{e_n}</math>. ''m-плоскостью'' называется множество точек <math>\alpha</math>, радиус векторы которых удовлетворяют следующему соотношению <math> \alpha = \{x \mid x = A_{nm}\vec{t_m} + \vec{d}\}.</math> <math>A_{nm}</math>  — матрица, столбцы которой образует направляющие подпространство плоскости, <math>\vec{t}</math>  — вектор переменных, <math>\vec{d}</math>  — радиус-вектор одной из точек плоскости.<br>
Указанное соотношение можно из матрично-векторного вида перевести в векторный:<br>
<math> x = \vec{a_1}t_1 + \ldots + \vec{a_m}t_m + d, \vec{a_i} \in V</math>  — векторное уравнение m-плоскости.<br>
Вектора <math>\vec{a_i}</math> образуют направляющее подпространство. Две m-плоскости <math>\alpha, \beta</math> называются ''параллельными'', если их направляющие пространства совпадают и <math> \exists x \in \alpha : x \notin \beta </math>.
<p> (n-1)-плоскость в n-мерном пространстве называется ''[[гиперплоскость]]ю'' или просто ''плоскостью''. Для гиперплоскости существует общее уравнение плоскости. Пусть <math>\vec{n}</math>  — нормальный вектор плоскости, <math> \vec{r} = (x^1,...,x^n)</math>  — вектор переменных, <math>\vec{r_0}</math>  — радиус вектор точки, принадлежащей плоскости, тогда:<br>
<math> (\vec{r} - \vec{r_0}, \vec{n}) = 0 </math>  — общее уравнение плоскости. <br>
Имея матрицу направляющих векторов, уравнение можно записать так: <math> \det(\vec{r} - \vec{r_0} | A_{n,n-1}) = 0</math>, или:<br>
<math>\begin{vmatrix} x^1 - x_{0}^1 & a_{1}^1 & a_{2}^1 & ... & a_{n-1}^1 \\ x^2 - x_{0}^2 & a_{1}^2 & a_{2}^1 & ... & a_{n-1}^2 \\ ... & ... & ... & ... \\ x^n - x_{0}^n & a_{1}^n & a_{2}^n & ... & a_{n-1}^n \end{vmatrix} = 0 </math>.<br>
''Углом между плоскостями'' называется наименьший угол между их нормальными векторами. </p>
 
# Примером 1-плоскости в трёхмерном пространстве (n=3) служит [[прямая]]. Её векторное уравнение имеет вид: <math> \alpha = \{a_x,a_y,a_z\}t + \{b_x,b_y,b_z\}</math>. В случае n = 2 прямая является гиперплоскостью.
=== Примеры m-плоскостей ===
# Примером 1-плоскости в трёхмерном пространстве (n=3) служит [[прямая]]. Её векторное уравнение имеет вид: <math> \alpha = \{a_x,a_y,a_z\}t + \{b_x,b_y,b_z\}</math>. В случае n = 2 прямая является гиперплоскостью.
# Гиперплоскость в трёхмерном пространстве соответствует привычному понятию плоскости.
 
# Гиперплоскость в трёхмерном пространстве соответствует привычному понятию плоскости.
== Вариации и обобщения ==
Свйоства плоскости зависят от объемлющего пространства, которое не обязано быть [[Евклидово пространство|евклидовым]]. Специфические понятия прямых и плоскостей можно ввести в [[Проективное пространство|проективном]], [[Аффинное пространство|аффинном]], [[Пространство Лобачевского|гиперболическом]] и [[Эллиптическая геометрия[|эллиптическом пространстве]]<ref name=ME/>.
 
== См. также ==
{{wiktionary|плоскость}}
{{commonscat-inline|Linear planes}}
 
{{ВС}}
 
[[Категория:Евклидова геометрия]]