Воспитанник "«[[Мордовия (футбольный клуб)|Мордовии]]"». В ее спортшколе он занимался с 11 лет<ref>[https://izvmor.ru/novosti/sport/zashchitnik-fk-mordoviya-aleksandr-tenyaev-eshche-ne-tak-davno-ya-podaval-myachi-tem-s-kem-vykhozhu-sejchas-na-pole-v-odnoj-komande Защитник ФК «Мордовия» Александр Теняев: «Еще не так давно я подавал мячи тем, с кем выхожу сейчас на поле в одной команде»]</ref>. Начинал свою карьеру Теняев в молодежной команде саранчан. Затем защитник выступал за ряд команд из [[ПФЛ России|второго дивизиона]]. Летом 2019 года футболист вернулся в "«Мордовию"», которая играла в [[Первенство ФНЛ 2019/2020|ФНЛ]]. Но в следующем году команда из-за финансовых трудностей не смогла пройти лицензирование и покинула профессиональный футбол.
В августе 2020 года Теняев подписал однолетний контракт с новичком [[Армения|армянской]] [[Чемпионат Армении по футболу|Премьер-лиги]] "«[[Ван (футбольный клуб, Чаренцаван)|Ваном"]]»<ref>[https://stolica-s.su/archives/271869 Воспитанник мордовского футбола подписал контракт со «Спартаком»]</ref>. За новый клуб защитник дебютировал 15 августа в матче первого тура против "«[[Гандзасар (футбольный клуб, Капан)|Гандзасара]]"» (2:1)<ref>[https://www.sports.ru/football/match/1445256/#online 15.08.2020 г. "Ван" - "Гандзасар" - 2:1 (протокол)]</ref>.
