Википедия

Обратное число: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории
(Показать все непатрулированные изменения)
[отпатрулированная версия][непроверенная версия]
← Предыдущая правкаСледующая правка →
Содержимое удалено Содержимое добавлено
ВизуальныйВики-текст
м откат правок 37.214.74.40 (обс.) к версии Lesless
Метка: откат
Нет описания правки
Строка 1:
{{нет ссылок|дата=25 октября 2019}}
 
'''Обра́тное число́''' (обратное значение, обратная величина) к данному числу ''x'' — это [[число]], [[умножение]] которого на ''x'' даёт [[1 (число)|единицу]]. Принятая запись: <math>\frac{1}x</math> или <math>x^{-1}</math>. Два числа, произведение которых равно единице, называются '''взаимно обратными'''. Обратное число не следует путать с обратной функцией. Например, <math>\frac{1}{\cos{x}}</math> отличается от значения функции, обратной косинусу — [[Обратные тригонометрические функции|арккосинуса]], который обозначается <math>\cos^{-1}x</math> или <math>\arccos x</math>.
 
__NOTOC____TOC____FORCETOC__
 
== Обратное к действительному числу ==
Для любого [[Вещественное число|действительного]] (или [[Комплексное число|комплексного]]) числа, отличного от [[Ноль (число)|нуля]], существует число, обратное ему. Обратное к действительному числу можно подать в виде [[дробь (математика)|дроби]] или [[Возведение в степень|степени]] с показателем [[−1 (число)|-1]]. Но, как правило, используется запись через дробь.
 
{| class="wikitable"
|-align="center"
| rowspan="2" | '''Число''' || colspan="2" | '''Обратное'''
|-align="center"
| '''Дробь''' || '''Степень'''
|-align="center"
| <math>n</math> || <math>\frac{1}{n}</math> || <math>n^{-1}</math>
|}
 
То есть <math>\ \frac{1}{n} = n^{-1}</math>.
 
{| class="standard collapsible"
!colspan=11|Примеры
|-align="center"
|Число|| <math>3</math> || <math>\frac{1}{10}</math> || <math>-\frac{2}{7}</math> ||<math>2\pi</math>|| <math>2</math> ||<math>-0,125</math>|| <math>1</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>e^{\frac{\pi}{4}}</math> || <math>10^{23}</math>
|-align="center"
|Обратное|| <math>\frac{1}{3}</math> || <math>10</math> || <math>-\frac{7}{2}</math> || <math>\frac{1}{2\pi}</math> ||<math>0,5</math>||<math>-8</math>|| <math>1</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || <math>e^{-\frac{\pi}{4}}</math> || <math>10^{-23}</math>
|}
 
Не стоит путать термины «обратное число» и «[[противоположное число]]». Два числа называются противоположными, если их сумма равна нулю. Например, число, противоположное к 3, это −3, а обратное 1/3.
 
=== Обратное к нулю ===
В арифметике, которая оперирует действительными (или комплексными) числами, нет понятия бесконечности (нет числа «бесконечность»). Поэтому в ней считается, что [[Деление (математика)#Деление на ноль|на ноль делить]] нельзя. Таким образом, ноль не имеет обратного числа. Но, с момента ввода [[Предел функции|предельного перехода]] (в [[Математический анализ|математическом анализе]]), появились такие понятия как [[Бесконечно малая и бесконечно большая|бесконечно малая]] и [[Бесконечно малая и бесконечно большая|бесконечно большая]] величины, которые являются взаимно обратными.
 
Используя предельный переход, получаем:
* Правый предел: <math>\lim_{x \to +0} \frac{1}{x}=\left( \frac{1}{0} \right)=+\infty</math> <span style="color:#ffffff">_</span> или <span style="color:#ffffff">_</span> <math>\left ( \frac{1}{x} \right ) \xrightarrow[x \xrightarrow{} +0]{}\ {+\infty}</math>
* Левый предел: <math>\lim_{x \to -0} \frac{1}{x}=\left( \frac{1}{0} \right)=-\infty</math> <span style="color:#ffffff">_</span> или <span style="color:#ffffff">_</span> <math>\left ( \frac{1}{x} \right ) \xrightarrow[x \xrightarrow{} -0]{}\ {-\infty}</math>
 
Таким образом, обратной величиной для нуля, в зависимости от того с какой стороны к нему стремиться, [[Формальная логика|формально]] является [[бесконечность]] со знаком [[Сложение|«+»]] или [[Вычитание|«−»]]. Однако такое определение обратного к нулю бессмысленно — при введении теряется дистрибутивность, что проявляется, в частности, когда предел обратного квадрата также «равен» бесконечности, но при делении предыдущего предела на этот даёт ответ 0, а не 1.
* <math>\lim_{x \to +0} \frac{1}{x^2}={+\infty}</math>
Но <math>\lim_{x \to +0} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^2}}=\lim_{x \to +0} \frac{x^2}{x}=0</math>
 
== Обратное к комплексному числу ==
Числа, обратные к комплексным, выглядят несколько сложнее нежели обратные к действительным. Существует три формы комплексного числа: [[Комплексное число#Алгебраическая форма|алгебраическая]], [[Комплексное число#Тригонометрическая форма|тригонометрическая]] и [[Комплексное число#Показательная форма|показательная]].<br>
 
{| class="wikitable"
|-align="center"
| '''Формы комплексного числа''' || '''Число''' <math>(z)</math> || '''Обратное''' <math>\left ( \frac{1}{z} \right)</math><ref name="z">Обратное <math>\left ( \frac{1}{z} \right )</math> к комплексному числу <math>(z)</math> записывается в такой же [[Комплексное число#Представление комплексных чисел|форме]], как и это число <math>(z)</math>.</ref>
|-align="center"
| [[Комплексное число#Алгебраическая форма|Алгебраическая]] || <math>x+iy</math> || <math>\frac{x}{x^2+y^2}-i \frac{y}{x^2+y^2}</math>
|-align="center"
| [[Комплексное число#Тригонометрическая форма|Тригонометрическая]] || <math>r(\cos\varphi+i \sin\varphi)</math> || <math>\frac{1}{r}(\cos\varphi-i \sin\varphi)</math>
|-align="center"
| [[Комплексное число#Показательная форма|Показательная]] || <math>re^{i \varphi}</math> || <math>\frac{1}{r}e^{-i \varphi}</math>
|}
 
{|
|-
|{{начало скрытого блока|{{nbsp|20}}Обозначение и доказательство{{nbsp|20}}|Рамка = |Фон_заголовка = #DCDCDC}}
 
{|
|-
|{{начало скрытого блока|Заголовок={{nbsp|20}}Обозначение{{nbsp|20}}|Рамка = |Фон_заголовка = #DCDCDC}}
<math>z \in \mathbb{C}</math> (комплексное число),<br>
<math>x = \operatorname{Re}(z) \in \mathbb{R}</math> (действительная часть комплексного числа),<br>
<math>y = \operatorname{Im}(z) \in \mathbb{R}</math> (мнимая часть комплексного числа),<br>
<math>i</math> — [[мнимая единица]],<br>
<math>r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math> (модуль комплексного числа),<br>
<math>\varphi=\operatorname{arg}z= \operatorname{arctg}\frac{y}{x}</math> (аргумент комплексного числа),<br>
<math>e</math> — [[e (число)|основание натурального логарифма]].
{{конец скрытого блока}}
|}
 
'''Доказательство:'''<br>
Для алгебраической и тригонометрической форм используем [[Дробь (математика)#Значение дроби и основное свойство дроби|основное свойство дроби]], умножая числитель и знаменатель на [[Комплексное число#Сопряжённые числа|комплексно-сопряженное]]:<br><br>
* '''Алгебраическая форма:'''
<math>\frac{1}{z}= \frac{1}{x+iy}= \frac{x-iy}{(x+iy)(x-iy)}= \frac{x-iy}{x^2+y^2}= \frac{x}{x^2+y^2}-i \frac{y}{x^2+y^2}</math><br><br>
* '''Тригонометрическая форма:'''
<math>\frac{1}{z} = \frac{1}{r(\cos\varphi+i \sin\varphi)} = \frac{1}{r} \frac{\cos\varphi-i \sin\varphi}{(\cos\varphi+i \sin\varphi)(\cos\varphi-i \sin\varphi)} = \frac{1}{r} \frac{\cos\varphi-i \sin\varphi}{\cos^2\varphi+ \sin^2\varphi} = \frac{1}{r}(\cos\varphi-i \sin\varphi)</math><br><br>
* '''Показательная форма:'''
<math>\frac{1}{z} = \frac{1}{re^{i \varphi}} = \frac{1}{r}e^{-i \varphi}</math><br><br>
{{конец скрытого блока}}
|}
Таким образом, при нахождении обратного к комплексному числу, удобнее пользоваться его показательной формой.<br>
 
'''Пример:'''
{| class="wikitable"
|- align="center"
| '''Формы комплексного числа''' || '''Число''' <math>(z)</math> || '''Обратное''' <math>\left ( \frac{1}{z} \right )</math><ref name="z">Обратное <math>\left ( \frac{1}{z} \right )</math> к комплексному числу <math>(z)</math> записывается в такой же [[Комплексное число#Представление комплексных чисел|форме]], как и это число <math>(z)</math>.</ref>
|- align="center"
| [[Комплексное число#Алгебраическая форма|Алгебраическая]] || <math>1+i \sqrt{3}</math> || <math>\frac{1}{4}- \frac{\sqrt{3}}{4}i</math>
|- align="center"
| [[Комплексное число#Тригонометрическая форма|Тригонометрическая]] || <math>2 \left ( \cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3} \right )</math><br>
или<br>
<math>2 \left ( \frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} \right )</math><ref name="cos">Запись комплексного числа в тригонометрической форме с использованием конкретного значения косинуса и синуса аргумента: <math>\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}, \ \ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}</math></ref>
|| <math>\frac{1}{2} \left ( \cos\frac{\pi}{3}-i\sin\frac{\pi}{3} \right )</math><br>
или<br>
<math>\frac{1}{2} \left ( \frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2} \right )</math><ref name="cos" />
|- align="center"
| [[Комплексное число#Показательная форма|Показательная]] || <math>2 e^{i \frac{\pi}{3}}</math> || <math>\frac{1}{2} e^{-i \frac{\pi}{3}}</math>
|}
 
Источник — https://ru.wikipedia.org/wiki/Обратное_число