Тензорная алгебра: различия между версиями

Пусть ''V''  — [[векторное пространство]] над [[поле (алгебра)|полем]] ''K''. Для любого натурального числа ''k'' определим '''''k''-ую тензорную степень''' ''V'' как [[тензорное произведение]] ''V'' на себя ''k'' раз:

Таким образом, ''T''^''k''''V'' состоит из всех тензоров над ''V'' ранга ''k''. Будем считать, что ''T''⁰''V''  — это основное поле ''K'' (одномерное векторное пространство над собой).

Тензорная алгебра ''T''(''V'')  — это свободная алгебра векторного пространства ''V''. Тензорная алгебра является наиболее общей алгеброй пространства ''V'', то есть любое [[линейное отображение]] <math>f: V\to A</math> пространства ''V'' в алгебру ''A'' над ''K'' может быть продолжено единственным образом до [[гомоморфизм]]а <math>\bar f: T(V) \to A</math>. Это утверждение выражается [[Коммутативная диаграмма|коммутативной диаграммой]]:

где ''i''  — каноническое вложение ''V'' в ''T''(''V''). Тензорную алгебру можно определить как единственную (с точностью до [[изоморфизм]]а) алгебру, обладающую таким свойством, хотя необходимо ещё явно показать, что такая алгебра существует.

Таким образом, тензорная алгебра ''функториальна'', то есть ''T''  — это [[функтор]] из [[Категория (математика)|категории]] '''''K''-Vect''' векторных пространств над ''K'' в категорию '''''K''-Alg''' ''K''-алгебр.

Заметим, что алгебра многочленов над ''V''  — это не <math>T(V)</math>, а <math>T(V^*)</math>: однородная линейная функция на ''V'' является элементом сопряженного пространства <math>V^*</math>.

* ''Винберг Э. Б.'' Курс алгебры  — {{М}}:Издательство «Факториал Пресс»  — 2002, ISBN 5-88688-060-7