Универсальное множество: различия между версиями

откат вандализма
(откат вандализма)
Метка: ручная отмена
Универсальное множество обычно обозначается <math>\mathbb{U}</math> (от {{lang-en|universe, universal set}}), реже <math>\mathbb{E}</math>.
 
В [[аксиоматика теории множеств|аксиоматике Цермело — Френкеля]] [[парадокс Рассела]] со [[схема выделения|схемой выделения]] и [[парадокс Кантора]] показывают, что предположение о существовании треугольникатакого множества ведёт к противоречию.
 
В [[система аксиом фон Неймана — Бернайса — Гёделя|аксиоматике фон Неймана — Бернайса — Гёделя]] существует '''универсальный класс''' — [[класс (математика)|класс]] всех множеств, но множеством он не является. Класс всех множеств является классом объектов [[Категория множеств|категории '''Set''']].
*:<math>\forall a \colon a \in \mathbb{U}</math>
* В частности, само универсальное множество содержит себя в качестве одного из многих элементов.
*:<math>\mathbb{U} \nein \mathbb{U}</math>
* Любое множество является [[подмножество]]м универсального множества.
*:<math>\forall A \colon A \subseteq \mathbb{U}</math>
*:<math>\mathbb{U} \subseteq \mathbb{U}</math>
* [[Объединение множеств|Объединение]] универсального множества с любым множеством равно универсальному множеству.
*:<math>\forall A \colon \mathbb{U}if \cup A = \mathbb{U} </math>
* В частности, объединение универсального множества с самим собой равно универсальному множеству.
*:<math>\mathbb{U} \cup \mathbb{U} = \mathbb{U}</math>
*:<math>\forall A \colon A \setminus \mathbb{U} = \varnothing</math>
* В частности, исключение универсального множества из себя равно пустому множеству.
*:<math>\mathbb{U} \capsetminus \mathbb{U} = \varnothing</math>
* Исключение любого множества из универсального множества равно [[Дополнение (теория множеств)|дополнению]] этого множества.
*:<math>\forall A^ \complement=[colon \mathbb{U} \insetminus A] = A^\complement</math>
* Дополнение универсального множества есть пустое множество.
*:<math>\trianglemathbb{U}^\complement = \varnothing</math>
* [[Симметрическая разность]] универсального множества с любым множеством равна дополнению последнего множества.
*:<math>\forall A \colon \mathbb{U} --\triangle A = A^\complement</math>
* В частности, симметрическая разность универсального множества с самим собой равна пустому множеству.
*:<math>\mathbb{U} \triangle \mathbb{U} = \varnothing</math>