Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера: различия между версиями

В поисках ответа на вопрос, при каких условиях диофантовы уравнения в виде алгебраических уравнений имеют решения в целых и рациональных числах{{sfn|Стюарт|2015|с=360}}, [[Бёрч, Брайан Джон|Брайан Бёрч]] и [[Свиннертон-Дайер, Питер|Питер Свиннертон-Дайер]] в начале 1960-х годов предположили, что ранг <math>r</math> эллиптической кривой <math>E</math> над [[Алгебраическое числовое поле|полем]] <math>K</math> равен порядку нуля [[Дзета-функция Хассе — Вейля|дзета-функции Хассе — Вейля]] <math>L(E,s)</math> в точке <math>s=1</math>. Более детально, гипотеза утверждает, что существует ненулевой предел <math>B_E=\lim\limits_{s \to 1} \frac{L(E,s)}{(s-1)^r}</math>, где значение <math>B_E</math> зависит от тонких арифметических инвариантов кривых. Из численных экспериментов {{harvtxt|BirchБёрч|SwinnertonСвиннертон-DyerДайер|1965}} предположили, что ''N_p'' - число целых точек на кривой ''E'' с рангом ''r'' по модулю ''p'' - удовлетворяет арифметическому закону: