Условия Инады: различия между версиями

4713 байт добавлено ,  1 месяц назад
Нет описания правки
 
'''Условиями Инады''' ({{lang-en|Inada conditions}}) в [[Макроэкономика|макроэкономике]] называют допущения о характере [[Функция производства|производственной функции]], гарантирующие стабильность [[Экономический рост|экономического роста]] в [[Модель Солоу|неоклассической модели]] ({{lang-en|balanced growth path, BGP}}). В нынешнем виде введены [[Удзава, Хирофуми|Хирофуми Удзавой]]<ref>{{статья |заглавие=On a Two-Sector Model of Economic Growth II |издание={{Нп3|The Review of Economic Studies}} |том=30 |номер=2 |страницы=105—118 |jstor=2295808 |язык=en |автор=[[Удзава, Хирофумиsfn|Uzawa]], H. |год=1963 |тип=journal}}</ref>, названы в честь другого японского экономиста, {{нп5|Инада, Кенити|Кенити Инады||Ken-Ichi Inada}}<ref>{{статья sfn|заглавие=On a Two-Sector Model of Economic Growth: Comments and a Generalization |издание={{Нп3|The Review of Economic Studies}} |том=30 |номер=2 |страницы=119—127 |jstor=2295809 |язык=en |тип=journal |автор={{нп5|Инада, Кенити|Ken-Ichi Inada||Ken-Ichi Inada}} |год=1963}}</ref>.
 
== Условия ==
Даны шесть условий:
Предполагается, что задана [[Гладкая функция|непрерывно дифференцируемая]] производственная функция <math>F: \mathbb R^n \to \mathbb R</math>, где <math>n</math> —  количество факторов производства. Например. для функции Кобба-Дугласа их традиционно два: капитал <math>K</math> и труд <math>L</math>. Тогда к производственной функции можно предъявить следующие требования.
# значение функции <math>f(\mathbf{x})</math> в <math>\mathbf{x} = \mathbf{0}</math> равно 0: <math>f(\mathbf{0})=0</math>;
# функция [[Гладкая функция|непрерывно дифференцируема]];
# функция строго возрастает по <math>x_{i}</math>: <math>\partial f(\mathbf{x})/\partial x_{i}>0</math>;
# вторая [[Производная функции|производная]] функции отрицательно по <math>x_{i}</math> (то есть функция [[Вогнутая функция|вогнута]]): <math>\partial^{2} f(\mathbf{x})/ \partial x_{i}^{2}<0</math>;
# [[Предел функции|предел]] первой производной <math>f(\mathbf{x})</math> равен бесконечности при <math>x_{i}</math>, стремящемся к 0: <math>\lim_{x_{i} \to 0} \partial f(\mathbf{x})/\partial x_i =+\infty</math>;
# предел первой производной <math>f(\mathbf{x})</math> равен 0 при <math>x_{i}</math>, стремящемся к бесконечности: <math>\lim_{x_{i} \to +\infty} \partial f(\mathbf{x})/\partial x_i =0</math>.
 
# Значение функции в нуле равно нулю <math>F(\mathbf{0})=0</math>. При этом требуют, чтобы функция была равна нулю даже если только один из факторов отсутствует.
Из класса [[функция CES|функций CES]] всем этим условиям удовлетворяет только [[функция Кобба — Дугласа]].
# Функция является монотонно возрастающей по каждому из факторов: <math>F'_{X_i}(\mathbf{X})>0, \, \forall i</math>.
# Функция является строго [[Вогнутая функция|вогнутой]], то есть вторая [[Производная функции|производная]] функции отрицательна: <math>\partial^{2} f(\mathbf{X})/ \partial X_{i}^{2}<0, \, \forall x_i</math>.
# [[Предел функции|пределПредел]] первой производной <math>fF(\mathbf{xX})</math> равен бесконечности при <math>x_X_{i}</math>, стремящемся к 0: <math>\lim_{x_X_{i} \to 0} \partial fF(\mathbf{xX})/\partial x_iX_i =+\infty</math>;
# пределПредел первой производной <math>fF(\mathbf{xX})</math> равен 0 при <math>x_X_{i}</math>, стремящемся к бесконечности: <math>\lim_{x_X_{i} \to +\infty} \partial fF(\mathbf{xX})/\partial x_iX_i =0</math>.
 
Условиями Инады называют как все сформулированные выше требования{{sfn|de la Fonteijne|2015}}, так и последнюю группу требований, накладывающих ограничения на поведение производной{{sfn|Барро и Сала-и-Мартин|2010}}.
 
Условия Инады обладают следующим смыслом. Равенство функции нулю означает, что для производства требуются ресурсы и все факторы производства обязательно должны присутствовать. Возрастание означает, что большее количество факторов производства приносит больший выпуск. Вогнутость является следствием [[Предельный продукт#Убывающий предельный продукт|убывающего предельного продукта]]. Требования к поведению производной означают, что в начальный момент каждая дополнительная единица ресурсов дает экономике очень много выпуска, но со временем из-за убывающей отдачи расти становится все сложнее. Каждая дополнительная единица приносит все меньше.
 
С математической точки зрения, условия Инады гарантируют существование сбалансированной траектории роста экономики в модели ({{lang-en|balanced growth path, BGP}}).
 
== Функция Кобба — Дугласа ==
Из класса [[функция CES|функций CES]] всем этимперечисленным условиям удовлетворяет только [[функция Кобба — Дугласа]]. Не трудно проверить выполнение этих условий для функции <math>Y=F(K,L)=K^\alpha L^{1-\alpha}</math> (<math>\alpha \in (0,1)</math>).
 
В производстве отсутствует капитал или труд, тогда:
:<math>F(0,L)=0</math>, <math>F(K,0)=0</math>.
 
Функция является монотонной по обоим факторам производства:
:<math> F'_K = \alpha K^{\alpha-1} L^{1-\alpha}>0</math>
:<math> F'_L = (1-\alpha) K^\alpha L^{-\alpha}</math>.
 
Убывающая предельная отдача капитала и труда:
:<math> F''_K = \alpha(\alpha-1)K^{\alpha-2} L^{1-\alpha}<0</math>
:<math> F''_L = -\alpha(1-\alpha) K^\alpha L^{-\alpha-1}<0</math>.
 
Поведение первой производной в нуле:
:<math> \lim_{K \to 0} F'_K = \alpha K^{\alpha-1} L^{1-\alpha} = \infty</math>
:<math> \lim_{L \to 0} F'_L = (1-\alpha) K^\alpha L^{-\alpha} = \infty</math>.
 
Поведение первой производной и на бесконечности:
:<math> \lim_{K \to \infty} F'_K = \alpha K^{\alpha-1} L^{1-\alpha} = 0</math>
:<math> \lim_{L \to \infty} F'_L = (1-\alpha) K^\alpha L^{-\alpha} = 0</math>.
 
== Примечания ==
 
== Литература ==
* {{книга |автор=[[Барро, Роберт|Барро Р.Дж.]], [[Сала-и-Мартин, Хавьер| Сала-и-Мартин Х.]] |заглавие=Экономический рост. |язык=ru |ответственный= |ссылка= |место=М.: |издательство=БИНОМ. Лаборатория знаний. — |год=2010. |том= С.|страниц=824 |страницы=41 — 824с. — ISBN |isbn=978-5-94774-790-4. |ref=Барро и Сала-и-Мартин}}
* {{книга |автор=[[Ромер, Дэвид|Ромер Д.]] |заглавие=Высшая макроэкономика. |язык=ru |ответственный= |ссылка= |место=М.: |издательство=Изд. дом ВШЭ, |год=2014 |том= с.28—29|страниц=855 —855с. — ISBN|страницы=28-29 |isbn=978-5-7568-0406-2 |ref=Ромер}}
* {{книга |год=1996 |заглавие=Economic Dynamics |издание=Third |место=Berlin |издательство=Springer |страницы=176—178 |ссылка={{Google books |plainurl=yes |id=ouC6AAAAIAAJ |page=176 }} |isbn=3-540-60988-1 |ref=Gandolfo |язык=und |автор=Gandolfo, Giancarlo}}
* {{статья |заглавие=On a Two-Sector Model of Economic Growth II |издание={{Нп3|The Review of Economic Studies}} |том=30 |номер=2 |страницы=105—118 |jstor=2295808 |язык=en |автор=[[Удзава, Хирофуми|Uzawa]], H. |год=1963 |тип=journal|ref=Uzawa}}
 
* {{статья |заглавие=On a Two-Sector Model of Economic Growth: Comments and a Generalization |издание={{Нп3|The Review of Economic Studies}} |том=30 |номер=2 |страницы=119—127 |jstor=2295809 |язык=en |тип=journal |автор={{нп5|Инада, Кенити|Ken-Ichi Inada||Ken-Ichi Inada}} |год=1963|ref=Inada}}
{{Макроэкономика}}
* {{статья |автор=de la Fonteijne M. R. |заглавие=Do Inada Conditions imply Cobb-Douglas Asymptotic Behavior or only a Elasticity of Substitution equal to one |ссылка=https://mpra.ub.uni-muenchen.de/82304/1/MPRA_paper_82304.pdf |язык=en |издание= |тип= |год=2015 |месяц= |число= |том= |номер= |страницы= |doi= |ref=de la Fonteijne}}
 
[[Категория:Макроэкономика]]