Однопиковые предпочтения: различия между версиями

Нет описания правки
(орфография)
'''Однопиковые предпочтения''' ({{lang-en|single-peaked preferences}}) — это [[отношение предпочтения]], такоезаданное на [[Линейно упорядоченное множество|линейно упорядоченном]] [[Множество допустимых альтернатив|множестве допустимых альтернатив]] и характеризующееся единственной точкой насыщения, чтопри удалении от которой полезность агента монотонно снижается{{sfn|Mas-Colell|1995}}.
# Агент имеет единственную [[Точка счастья|точку счастья]] — альтернативу, строго предпочитаемую всем остальным.
# По мере удаления от точки счастья агент получает всё меньшую полезность.
Однопиковые предпочтения характерны для одномерных множеств альтернатив. Классический пример — приобретение [[Общественное благо|общественного блага]].
 
Однопиковые предпочтения играют важную роль в [[Теория общественного выбора|теории общественного выбора]], так как позволяют обойти ограничения, накладываемые [[Теорема Эрроу|теоремой Эрроу о диктатуре]]. В случае однопиковых предпочтений можно построить процедуру коллективного выбора, которая не будет диктаторской. В этом случае точка насыщения медианного агента будет той альтернативой, которая выиграет при попарном голосовании у любой другой.
Для однопиковых предпочтений существует простой [[правдивый механизм]] выбора — медиана. Механизм правдив, потому что функция медианы обладает свойством строгой монотонности.
 
== Определение ==
=== Формальное определение ===
Пусть имеется упорядоченное множество возможных исходов: <math>\{x_1,\ldots,x_N\}</math>. Агент имеет однопиковое отношение предпочтения <math>\succsim</math> над множеством исходов, если существует уникальный <math>x^*\in\{x_1,\ldots,x_N\}</math> такой, что
Однопиковые предпочтения задаются на числовой прямой. Про любую пару альтернатив из множества допустимых альтернатив <math>x_i,x_j \in X=\{x_1,\ldots,x_N\}</math> можно сказать, что либо <math>x_i \ge x_j</math>, либо <math>x_j \ge x_i</math>. Тогда предпочтения агента <math>\succsim</math> являются однопиковыми над множеством исходов <math>X</math>, если существует единственный <math>x^* \in X</math> такой, что
:<math>x_mx_j<x_nx_i \leq x^* \Rightarrow x_nx_i \succ x_mx_j</math>
:<math>x_mx_j>x_nx_i \geq x^* \Rightarrow x_nx_i \succ x_mx_j</math>
 
ТогдаВ этом случае точка <math>x^*</math> есть точка счастьянасыщения (идеальный вариант). Если агент выбирает между двумя исходами по одну сторону от точки счастьянее, он предпочтёт ту, которая находится ближе к <math>x^*</math>.
<math>x_m<x_n \leq x^* \Rightarrow x_n \succ x_m</math>
 
=== Графическое представление ===
<math>x_m>x_n \geq x^* \Rightarrow x_n \succ x_m</math>
Предположим, что множество допустимых альтернатив состоит из пяти элементов <math>X={A,B,C,D,E}</math>. Однопиковые предпочтения для трех агентов могут быть представлены на графике следующим образом:
 
[[File:Singlepeaked1.jpg|300px]]
Тогда <math>x^*</math> есть точка счастья (идеальный вариант). Если агент выбирает между двумя исходами по одну сторону от точки счастья, он предпочтёт ту, которая находится ближе к <math>x^*</math>.
 
Предпочтения, не являющиеся однопиковыми:
 
[[File:Singlepeaked2.jpg|300px]]
 
== Примеры ==
=== Общественные блага ===
Однопиковые предпочтения возникают в задаче об оптимальном количестве [[Общественное благо|общественных благ]], если блага финансируются за счет индивидуальных взносов некоторого коллектива агентов. Как правило, в качестве взносов рассматриваются [[Налог|налоги]]. Повышение налогов увеличивает количество общественного блага, но снижает доход который можно потратить на частное потребление. Агент решает следующую [[Задача потребителя|задачу]]:
:<math> u(x_i,y) = x_i + a_iv(G)</math>
:<math> x_i + t_i = w_i</math>
 
где <math>x</math> – частное потребление; <math>y</math> – общественное благо; <math>t</math> – налог; <math>w</math> – доход потребителя. При этом сумма налогов равна величине общественного блага <math>\sum_{i=1}^n t_i = y</math>.
Имеются профиль из трёх предпочтений над множеством {A,B,C,D,E}. Однопиковые предпочтения:
 
Если подставить [[бюджетное ограничение]] агента в [[Функция полезности|функцию полезности]], то получатся однопиковые предпочтения:
[[File:Singlepeaked1.jpg|300px]]
:<math> u(x_i,y) = (w_i - t_i) + a_iv\Bigg(\sum_{i=1}^n t_i\Bigg)</math>.
 
Функция зависит от одной переменной <math>t_i</math>. Множество ее значений линейно упорядочено. Функция имеет единственный глобальный максимум, который является точкой насыщения данного агента.
Предпочтения, не являющиеся однопиковыми:
 
== См. также ==
[[File:Singlepeaked2.jpg|300px]]
* [[Теория общественного выбора]]
 
== Примечания ==
{{примечания}}
 
== Литература ==
* {{книга |заглавие=Positive Political Theory I: Collective Preferences |издательство={{Нп3|University of Michigan Press}} |год=2000 |isbn=978-0-472-08721-1 |язык=en |автор=Austen-Smith, David; Jeffrey Banks}}
* {{книга |заглавие=Microeconomic Theory |издательство=[[Издательство Оксфордского университета|Oxford University Press]] |год=1995 |isbn=978-0-19-507340-9 |язык=en |автор=Mas-Colell, Andreu, Michael D. Whinston, and Jerry R. Green|ref=Mas-Colell et al.}}
* {{книга |заглавие=Axioms of Cooperative Decision Making |издательство=[[Издательство Кембриджского университета|Cambridge University Press]] |год=1991 |isbn=978-0-521-42458-5 |язык=und |автор=Moulin, Hervé}}