Однопиковые предпочтения: различия между версиями

Нет описания правки
 
'''Однопиковые предпочтения''' ({{lang-en|single-peaked preferences}}) — это [[отношение предпочтения]], заданное на [[Линейно упорядоченное множество|линейно упорядоченном]] [[Множество допустимых альтернатив|множестве допустимых альтернатив]] и характеризующееся единственной точкой насыщения, при удалении от которой [[полезность]] [[Экономический агент|агента]] монотонно снижается{{sfn|Mas-Colell et al.|1995}}.
 
Однопиковые предпочтения играют важную роль в [[Теория общественного выбора|теории общественного выбора]], так как позволяют обойти ограничения, накладываемые [[Теорема Эрроу|теоремой Эрроу о диктатуре]]. В случае однопиковых предпочтений можно построить процедуру коллективного выбора, которая не будет диктаторской. В этом случае точка насыщения медианного агента будет той альтернативой, которая выиграет при попарном голосовании у любой другой. Медианным агентом является агент, чья точка насыщения делит множество допустимых альтернатив пополам (см. [[Медиана (статистика)|Медиана]] в статистике).
 
== Определение ==
=== Формальное определение ===
Однопиковые предпочтения задаются на линейно-упорядоченном множестве допустимых альтернатив. Например, на [[Числовая ось|числовой прямой]]. Про любую пару альтернатив из множества допустимых альтернатив <math>x_i,x_j \in X=\{x_1,\ldots,x_N\}</math> можно сказать, что либо <math>x_i \ge x_j</math>, либо <math>x_j \ge x_i</math>. Тогда предпочтения агента <math>\succsim</math> являются однопиковыми над множеством исходов <math>X</math>, если существует единственныйединственное <math>x^* \in X</math> такойтакое, что{{sfn|Mas-Colell et al.|1995|с=801}}:
:<math>x_j<x_i \leq x^* \Rightarrow x_i \succ x_j</math>
:<math>x_j>x_i \geq x^* \Rightarrow x_i \succ x_j</math>
 
=== Графическое представление ===
Предположим, что множество допустимых альтернатив состоит из пяти элементов <math>X={A,B,C,D,E}</math>. Однопиковые предпочтения для трех агентов могут быть представлены на левом графике. Предпочтения, не являющиеся однопиковыми, представлены на следующимправом образом:груфике.
 
<gallery mode="packed" heights="300px">
[[ File:Singlepeaked1.jpg|300px]]|1
[[ File:Singlepeaked2.jpg|300px]]|2
</gallery>
 
== Значение ==
Предпочтения, не являющиеся однопиковыми:
Однопиковые предпочтения играют важную роль в теории общественного выбора, так как позволяет обойти ограничения, накладываемые теоремой Эрроу. Согласно ей, для произвольных рациональных предпочтений отдельных агентов существует лишь один функционал общественного выбора, который удовлетворяет всем ее условиям. Таким функционалом является диктатура, то есть всегда найдется агент, чьи индивидуальные предпочтения совпадут с коллективными. Однако если заранее ограничить разнообразие предпочтений, предположив их однопиковость, то точка насыщения медианного агента окажется той альтернативой, которая выиграет в попарном голосовании против любой другой. Тем самым можно предъявить не диктаторскую процедуру коллективного выбора.
 
[[File:Singlepeaked2.jpg|300px]]
 
== Примеры ==
=== Общественные блага ===
Однопиковые предпочтения возникают в задаче об оптимальном количестве [[Общественное благо|общественных благ]], если блага финансируются за счет индивидуальных взносов некоторого коллектива агентов. КакВ правилокачестве взносов могут рассматриваться как добровольные вклады, втак качествеи взносовпринудительные рассматриваютсяплатежи государству ([[Налог|налоги]]). Повышение налогов увеличивает количество общественного блага, но снижает доход который можно потратить на частное потребление. Агент решает следующую [[Задача потребителя|задачу]], выбирая между тем, сколько потратить на потребление частных благ и какой сделать вклад в общественное благо (см.  [[Благо (экономика)#Совместная классификация по конкурентности и исключаемости|Благо]] в экономике):
:<math> \max_{x_i,G} u(x_i,yG) = x_i + a_iv(G)</math>
:<math> x_i + t_ig_i = w_i</math>
 
где <math>u,v</math> – [[Функция полезности|функции полезности]] агента; <math>x</math> – частное потребление; <math>yG</math> – общественное благо; <math>tg_i</math> – налогиндивидуальный вклад в общественное благо; <math>ww_i</math> – доход потребителя. При этом сумма налоговвзносов равна величине общественного блага <math>\sum_{ij=1}^n t_ig_j = yG</math>.
 
На функцию полезности <math>v</math> накладываются стандартные ограничения <math>v'>0, \, v''<0</math>, то есть она является возрастающей и вогнутой. Если подставить [[бюджетное ограничение]] агента в [[Функция полезности|функцию полезности]], то получатся однопиковые предпочтения:
:<math> u(x_i,yg_i) = (w_i - t_ig_i) + a_iv\Bigg(\sum_{ij=1}^n t_ig_j\Bigg)</math>.
 
Функция зависит от одной переменной <math>t_ig_i</math>. Множество ее значений линейно упорядочено. Функция имеет единственный глобальный максимум, который является точкой насыщения данного агента. В случае попарного сравнения максимумов разных агентов, большинство проголосует за максимум медианного агента.
 
== См. также ==