Группа Ли: различия между версиями

1 байт убрано ,  5 месяцев назад
(→‎Типы групп Ли: уточнение)
 
== Гомоморфизмы и изоморфизмы ==
Пусть <math>G</math> и <math>H</math> — группы Ли над одним и тем же полем. ''Гомоморфизмом'' групп Ли называется отображение <math>f\colon G\to H</math>, являющееся [[гомоморфизм групп|гомоморфизмом групп]] и одновременно аналитическим отображением многообразий (можно показать, что для выполнения последнего условия достаточно непрерывности <math>f</math>). Композиция гомоморфизмов групп Ли снова будет гомоморфизмом групп Ли. Классы всех вещественных и всех комплексных групп Ли вместе с соответствующими гомоморфизмами образуют [[теория категорий|категории]] <math>\operatorname{Lie}_\R</math> и <math>\operatorname{Lie}_\Complex</math>. Гомоморфизм групп Ли называется ''изоморфизмом'', если существует обратный. Две группы Ли, между которыми существует изоморфизм, как обычно в абстрактной алгебре, называются изоморфными. Как обычно, группы Ли различают лишь с точностью до изоморфизма. Например, группа Ли <math>SO(2)</math> поворотов плоскости с операцией композиции и группа Ли <math>U(1)</math> комплексных чисел, равных по модулю единице, с операцией умножения, являются изоморфными.
 
Пример иррациональной обмотки тора показывает, что образ группы Ли при гомоморфизме не всегда является подгруппой Ли. Однако прообраз подгруппы Ли при гомоморфизме всегда является подгруппой Ли.
Анонимный участник