Википедия

Математическое ожидание: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории
(Показать все непатрулированные изменения)
[непроверенная версия][непроверенная версия]
← Предыдущая правкаСледующая правка →
Содержимое удалено Содержимое добавлено
ВизуальныйВики-текст
м оформление формул
Строка 15:
|isbn =
|тираж = 148 800
}}</ref>. В случае непрерывной случайной величины подразумевается взвешивание по плотности распределения (более строгие определения см. ниже). Математическое ожидание случайного вектора равно вектору, компоненты которого равны математическим ожиданиям компонент случайного вектора.▼
}}</ref>.
▲В случае непрерывной случайной величины подразумевается взвешивание по плотности распределения (более строгие определения см. ниже). Математическое ожидание случайного вектора равно вектору, компоненты которого равны математическим ожиданиям компонент случайного вектора.
 
Обозначается через <math>\mathbb{E}[X]</math><ref>{{книга
Строка 39 ⟶ 38 :
 
Для случайной величины, принимающей значения только 0 или 1 математическое ожидание равно ''p'' — вероятности "единицы".
Математическое ожидание суммы таких случайных величин равно ''np'', где ''n'' — количество таких случайных величин. Некоторые случайные величины не имеют математического ожидания, например, случайные величины, имеющие [[распределение Коши]].
Некоторые случайные величины не имеют математического ожидания, например, случайные величины, имеющие [[распределение Коши]].
 
На практике математическое ожидание обычно оценивается как среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины (выборочное среднее, среднее по выборке). Доказано, что при соблюдении определенных слабых условий (в частности, если выборка является случайной, то есть наблюдения являются независимыми) выборочное среднее ''стремится ''к истинному значению математического ожидания случайной величины при стремлении объема выборки (количества наблюдений, испытаний, измерений) к бесконечности.
Строка 53 ⟶ 51 :
=== Определение через функцию распределения случайной величины ===
Если <math>F_X(x)</math> — [[функция распределения]] случайной величины, то её математическое ожидание задаётся [[интеграл Лебега — Стилтьеса|интегралом Лебега — Стилтьеса]]:
:<math>\mathbb{E}[X]=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\!x\, dF_X(x); </math>, <math>x \in \mathbb R</math>.
 
=== Определение для абсолютно непрерывной случайной величины (через плотность распределения) ===
Строка 61 ⟶ 59 :
=== Определение для дискретной случайной величины ===
Если <math>X</math> — [[Дискретное распределение|дискретная случайная величина]], имеющая [[Распределение вероятности|распределение]]
: <math>\mathbb{P}Pr(X=x_i) = p_i</math> ,\; <math>\sum\limits_{i=1}^{\infty} p_i = 1</math>,
то прямо из определения [[Интеграл Лебега|интеграла Лебега]] следует, что
:<math>\mathbb{E}[X]=\sum\limits_{i=1}^{\infty} x_i\, p_i</math>.
Строка 67 ⟶ 65 :
==== Математическое ожидание целочисленной величины ====
* Если <math>X</math> — положительная целочисленная случайная величина (частный случай дискретной), имеющая распределение вероятностей
: <math>\mathbb{P}Pr(X=j) = p_j</math> ,\; <math>j=0,1,...;\quaddotsc</math>, <math>\sum\limits_{j=0}^{\infty} p_j = 1</math>,
то её математическое ожидание может быть выражено через [[Производящая функция последовательности|производящую функцию последовательности]] <math>\{p_i\}</math>
: <math>P(s)=\sum_{k=0}^\infty\;p_k s^k </math>
Строка 73 ⟶ 71 :
 
Теперь возьмём производящую функцию <math>Q(s)</math> последовательности «хвостов» распределения <math>\{q_k\}</math>
: <math>q_k=\mathbb{P}Pr(X>k)=\sum_{j=k+1}^\infty{p_j};\quad</math> , <math>Q(s)=\sum_{k=0}^\infty\; q_k s^k.</math>
Эта производящая функция связана с определённой ранее функцией <math>P(s)</math> свойством: <math>Q(s)=\frac{1-P(s)}{1-s}</math> при <math>|s|<1</math>. Из этого по [[Формула конечных приращений|теореме о среднем]] следует, что математическое ожидание равно просто значению этой функции в единице:
Из этого по [[Формула конечных приращений|теореме о среднем]] следует, что математическое ожидание равно просто значению этой функции в единице:
:<math>\mathbb{E}[X]=P'(1)=Q(1)</math>
 
Строка 109 ⟶ 106 :
* Математическое ожидание сохраняет неравенства, то есть если <math>0 \leqslant X \leqslant Y</math> [[Почти достоверное событие|почти наверняка]], и <math>Y</math> — случайная величина с конечным математическим ожиданием, то математическое ожидание случайной величины <math>X</math> также конечно, и более того
 
::<math>0 \leqslant \mathbb{E}[X] \leqslant \mathbb{E}[Y]</math>;.
* Математическое ожидание не зависит от поведения случайной величины на событии вероятности нуль, то есть если <math>X = Y</math> [[Почти достоверное событие|почти наверняка]], то
 
Строка 115 ⟶ 112 :
* Математическое ожидание произведения двух [[Независимость (теория вероятностей)#Независимые случайные величины|независимых]] или [[Корреляция|некоррелированных]]<ref>{{Cite web|url=http://sernam.ru/book_tp.php?id=50|title=Теория вероятностей: 10.2. Теоремы о числовых характеристиках|publisher=sernam.ru|accessdate=2018-01-10}}</ref> случайных величин <math>X,Y</math> равно произведению их математических ожиданий
 
::<math>\mathbb{E}[XY] = \mathbb{E}[X]\cdot \mathbb{E}[Y]</math>.
 
=== Неравенства, связанные с математическим ожиданием ===
{{Нет источников в разделе|дата=2016-05-13}}
[[Неравенство Маркова]] — для неотрицательной случайной величины <math>X\colon \Omega \to \mathbb{R}^+</math> определённой на [[вероятностное пространство|вероятностном пространстве]] <math>(\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P})</math> с конечным математическим ожиданием <math>\operatornamemathbb{E}(X)</math> выполняется неравенство:
: <math>\mathbb{P}Pr\left(X \geqslant a\right) \leqslant \frac{\operatornamemathbb{E}(X)}{a}</math>, где <math>a>0</math>.
 
[[Неравенство Йенсена]] для математического ожидания [[выпуклая функция|выпуклой функции]] от случайной величины. Пусть <math>(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</math> — вероятностное пространство, <math>X\colon\Omega\to \mathbb{R}</math> — определённая на нём случайная величина, <math>\varphi\colon\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> — выпуклая [[Борелевы функции|борелевская функция]], такие, что <math>X, \varphi(X) \in L^1(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</math>, то
такие, что: <math>X, \varphi(\mathbb{E}(X)) \inleqslant L^1(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{PE}(\varphi(X))</math>,. то<br>
: <math>\varphi(\operatorname{E}(X)) \leqslant \operatorname{E}(\varphi(X))</math>. <br>
 
=== Теоремы, связанные с математическим ожиданием ===
Строка 130 ⟶ 126 :
 
[[Теорема Лебега о мажорируемой сходимости]] — пусть есть сходящаяся [[почти всюду]] последовательность случайных величин: <math>X_n\to X</math>. Пусть в дополнение существует интегрируемая случайная величина <math>Y</math>, такая что <math>\forall n\in\N\quad|X_n|\leqslant Y</math> почти наверное. Тогда случайные величины <math>X_n,\;X</math> интегрируемы и
: <math>\lim\limits_{n\to\infty}\mathbb{E}(X_n)=\mathbb{E}(X) </math> .
[[Тождество Вальда]] — для [[статистическая независимость|независимых]] одинаково [[Распределение вероятностей|распределённых]] [[случайная величина|случайных величин]] <math>X_1,...,X_N</math>, где <math>N</math> является положительной целочисленной случайной величиной, независимой от <math>X_i</math>, при условии, что <math>X_i</math> и <math>N</math> имеют конечное математическое ожидание, будет выполняться следующее равенство:
::<math>\operatornamemathbb{E}\left(\sum_{i=1}^{N}X_i\right)=\operatornamemathbb{E}(N)\operatornamemathbb{E}(X)</math>
 
Математическое ожидание случайной величины <math>X</math> равно значению первой производной её [[Производящая функция моментов|производящей функции моментов]] <math>G(u)</math> в точке 0:
Источник — https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическое_ожидание