Случайная величина: различия между версиями

365 байт добавлено ,  3 месяца назад
оформление формул
м (короткое тире '-' было заменено на длинное '—')
(оформление формул)
Метка: редактор вики-текста 2017
{{seealso|Распределение вероятностей}}
'' Распределением вероятностей'' случайной величины <math>\xi</math> называется функция <math>P_\xi=P_\xi(B)</math> на сигма-алгебре <math>\mathfrak{B}</math> фазового пространства, определенная следующим образом:<ref name = ПрохоровРозанов/>
:: <math> P_\xi (B) = P\Pr \left\{\xi \in B \right\} </math>, где <math>B \in \mathfrak{B}</math> (распределение вероятностей <math>P_\xi</math> представляет собой вероятностную меру в фазовом пространстве <math>(X, \mathfrak{B})</math>).
 
В случае, если фазовое пространство случайной величины представляет собой множество вещественных чисел <math>\mathbb{R}</math>, с [[Борелевская сигма-алгебра|борелевской σ-алгебры]] , то функция распределения <math>F(x)</math> равна вероятности того, что значение случайной величины меньше [[Вещественное число|вещественного числа]] <math>x</math>. Из этого определения следует, что вероятность попадания значения случайной величины в [[Промежуток (математика)|интервал]] [a, b) равна <math>F(b)-F(a)</math>. Преимущество использования функции распределения заключается в том, что с её помощью удаётся достичь единообразного математического описания дискретных, непрерывных и дискретно-непрерывных случайных величин. Тем не менее, существуют разные случайные величины, имеющие одинаковые функции распределения. Например, если случайная величина <math>\xi</math> принимает значения +1 и −1 с одинаковой вероятностью 1/2, то случайные величины <math>\xi</math> и <math>\xi^3</math> описываются одной и той же функцией распределения F(x). <!--композиция практически любой случайной величины с практически любой, кроме вырожденных случаев, подстановкой на вероятностном пространстве дают другую случайную величину, хотя и с тем же вероятностным поведением отдельно взятой случайно величины (но совместное поведение обычно меняется). Если в качестве вероятностного пространства выступает <math>\mathbb{R}</math>, то <math>\xi_1(x)=x</math> и <math>\xi_2(x)=-x</math> являются различными случайными величинами с тождественными функциями распределения. Вероятностное поведение этих случайных величин как отдельных одинаково, чего не сказать о совместном поведении со случайной величиной <math>\xi_3(x)=2x</math>. -->
 
Если случайная величина дискретная, то полное и однозначное математическое описание её распределения определяется указанием [[функция вероятности|функции вероятностей]] <math>p_k=P\Pr(\xi=x_k) , \; k \in \mathbb{N} </math> всех возможных значений этой случайной величины. Примерами дискретных случайных величин являются величины, имеющие [[Биномиальное распределение|биномиальный]] и [[Пуассоновское распределение|пуассоновский]] законы распределения.
 
=== Эквивалентные случайные величины ===
Случайные функции <math>\xi= \xi(\omega)</math> и <math>\eta= \eta(\omega)</math> в фазовом пространстве <math>(X,\mathfrak{B})</math> называется ''эквивалентными'', если для любого множества <math>B \in \mathfrak{B}</math> события <math>\xi \in B </math> и <math>\eta \in B </math> совпадают с вероятностью единица:
:: <math>P\Pr( \left\{\xi \in B \right\} \bigtriangleup \left\{\eta \in B \right\})=0 </math>, где <math>\bigtriangleup</math> операция [[симметрическая разность|симметрической разности]] двух множеств.<br>
Для [[Сепарабельное пространство|сепарабельного фазового пространства]] эквивалентность означает, что величины <math>\xi</math> и <math>\eta</math> совпадают с вероятностью единица, т. е. <math>P\Pr \left\{\xi \neq\eta\right\}=0 </math>.
 
=== Совместное распределение случайных величин. Независимые случайные величины ===
''Совместным распределением вероятностей'' случайных величин <math>\xi_1, \xi_2, ...\dotsc, \xi_n</math> на пространстве элементарных событий <math>(\Omega, \mathfrak{A}, \mathbb{P})</math> в соответствующих фазовых пространствах <math>(X_k, \mathfrak{B}_k)</math>, называется функция <math>P_{\xi_1},...,_{\dots\xi_n} = P_{\xi _1} , ...,_{\dotsc\xi_n} (B_1, ...\dots, B_n)</math>, определенная на множествах <math> B_1\in \mathfrak{B_1}, ... \dotsc, B_n \in \mathfrak{B_n} </math> как
:: <math>P_{\xi_1} , ..., _{\dots\xi_n} (B_1,...\dotsc,B_n) = P\Pr \left\{\xi_1\in B_1,...\dotsc, \xi_n\in B_n \right\} </math>.<br>
Распределение вероятностей <math>P_{\xi_1}, ... ,_{\dots\xi_n}</math> как функция на [[полукольцо|полукольце]] множеств вида <math> B_1 \times... \dotsb \times B_n, B_1\in \mathfrak{B_1}, ,...\dotsc , B_n \in \mathfrak{B_n} </math> в [[Прямое произведение|произведение]] пространств <math>X_1 \times...\dotsb \times X_n</math> представляет собой функцию распределения. Случайные величины <math>\xi_1, ...\dotsc, \xi_n</math> называются ''независимыми'', если при любых <math>B_1, ...\dotsc , B_n</math>
:: <math>P_{\xi_1}, ...,\dots _{\xi_n}(B_1,...\dotsc,B_n) = P_{\xi_1}(B_1)...\dotsb P_{\xi_n}(B_n)</math>.<br>
Для всякого семейства распределений <math>P_t </math> в соответствующих фазовых пространствах <math>(X_t, \mathfrak{B_t})</math> ( параметр <math>t</math> принадлежит произвольному множеству <math>T</math>) существует семейство случайных величин <math>\xi_t= \xi_t(\omega)</math> на некотором пространстве элементарных событий <math>(\Omega, \mathfrak{A}, \mathbb{P})</math> в соответствующих фазовых пространствах <math>(X_t, \mathfrak{B}_t)</math> с распределением <math>P_t</math> независимых между собой (т. е. любые случайные величины <math>{\xi_t}_1, ...\dotsc, {\xi_t}_n</math>, <math>t_1,...\dotsc,t_n \in T</math>, являются независимыми).<br>
=== Типы случайных величин ===
Случайные величины классифицируются и называются в соответствии с типом их фазового пространства. Например:
* Случайной величина называется [[Дискретная случайная величина|дискретной]], если она принимает не более чем счетное количество значений. Дискретная случайная величины называется конечной, если она принимает конечное число значений. Случайная величина <math>\xi</math> называется целочисленной, если она принимает в зависимости от случайного исхода одно из значений <math>k = 0, 1, 2, . . .\dotsc</math> с соответствующими вероятностями <math>P_\xi(k)</math>.
* Измеримая функция <math>\xi\colon:\Omega \to \mathbb{R}^n</math> называется [[Многомерная случайная величина|многомерной случайной величиной]] или <math>n</math>-мерным случайным вектором (относительно борелевской <math>\sigma</math>-алгебры на <math>\mathbb{R}^n</math>). Эквивалентно этому является следующее определение: вектор <math>\xi = (\xi_1, \xi_2,...\dotsc, \xi_n) </math>, элементы <math>\xi_1, \xi_2,...\dotsc, \xi_n</math> которого являются случайные величины, называется многомерной случайной величиной или случайным вектором.
* Измеримая функция <math>\xi\colon: \Omega \to \mathbb{C}^n</math> называется <math>n</math>-мерным комплексным случайным вектором (также относительно соответствующей [[Борелевская сигма-алгебра|борелевской <math>\sigma</math>-алгебры]]).
* Измеримая функция, отображающая вероятностное пространство в пространство подмножеств некоторого (конечного) множества, называется (конечным) случайным множеством.
* Ограниченный [[выпуклый многогранник]] в <math>n</math>-мерном [[линейное пространство|линейном пространстве]] <math>E^n</math> построенный в виде [[выпуклая оболочка| выпуклой оболочки]] более, чем из <math>n+1</math> точек, являющихся реализацией случайного вектора в пространстве <math>E^n</math>, называется случайным выпуклым многогранником.
=== Случайный процесс ===
{{main|Случайный процесс}}
Пусть <math>(E, \mathfrak{B})</math> — измеримое пространство, <math>T</math> множество значений параметра <math>t</math>. Функция <math>\xi = \xi(t) </math> параметра <math>t \in T</math>, значениями которой являются случайные величины <math>\xi(t) = \xi(\omega, t) </math> на пространстве элементарных событий <math>(\Omega, \mathfrak{A}, \mathbb{P})</math> в фазовом пространстве <math>(E, \mathfrak{B})</math>, называется ''случайным процессом в фазовом пространстве'' <math>(E, \mathfrak{B})</math>. Всевозможные совместные распределения вероятностей значений <math>\xi(t_1), ...\dotsc, \xi(t_n), t_1, ...\dotsc, t_n \in T </math>:
:: <math>P_{t_1}\dots , ..., _{t_n} (B_1,...\dotsc,B_n) = P\Pr \left\{\xi(t_1)\in B_1,...\dotsc, \xi(t_n)\in B_n \right\} (B_1,...\dotsc,B_n \in \mathfrak{B})</math><br>
называются ''конечномерными распределениями вероятностей'' случайного процесса <math>\xi = \xi(t) </math>.
 
=== Числовые характеристики случайных величин ===
[[Математическое ожидание|Математическим ожиданием]] или средним значением случайной величины <math>\xi= \xi(\omega)</math> в [[Нормированное пространство|линейном нормированном пространстве]] X на пространстве элементарных событий <math>(\Omega, \mathfrak{A}, \mathbb{P})</math> называется интеграл
: <math> \operatornamemathop{\mathbb{E}}\xi =\int\limits_{\Omega}\xi(\omega)\, \mathbb{P}(d\omega)=\int\limits_{\Omega}x\mathbb{P_\xi}(d\omega) </math>
( в предположении, что функция <math>\xi= \xi(\omega)</math> является интегрируемой).
 
[[Дисперсия случайной величины|Дисперсией]] случайной величины <math>\xi </math> называется величина, равная:
:: <math>\operatorname{D}\xi = \operatornamemathop{\mathbb{E}}(\xi - \operatornamemathop{\mathbb{E}}\xi)^2 = \operatornamemathop{\mathbb{E}}\xi^2 - (\operatornamemathop{\mathbb{E}}\xi)^2</math>.
В [[статистика|статистике]] для дисперсии часто употребляется обозначение <math>\sigma_\xi^2</math> или <math>\sigma^2</math>.
Величина <math>\sigma</math>, равная
''Ковариацией'' случайных величин <math>\xi </math> и <math>\eta</math> называется следующая величина:
::<math>\mathrm{cov}(\xi,\eta)</math> = <math>\operatorname{E}(\xi- \operatorname{E}{\xi})({\eta}- \operatorname{E}{\eta})</math>
(предполагается, что математическое ожидание определено).<br>
 
Если <math>\mathrm{cov}(\xi,\eta)</math> = 0, то случайные величины <math>\xi </math> и <math>\eta</math> называются ''не коррелированными''. <br>
 
Если <math>0<\operatorname{D}\xi <\infty</math>, <math> 0<\operatorname{D}\eta<\infty</math>, то величина
:: <math>\rho(\xi, \eta) = {\mathrm{cov}(\xi, \eta)\over {\sqrt{\operatorname{D}{\xi}\operatorname{D}\eta}}}</math>
называется ''коэффициентом корреляции'' случайных величин.
 
''Моментом порядка k'' случайной величины <math>\xi </math> называется математическое ожидание <math>\operatornamemathop{\mathbb{E}}{\xi}^k </math>, ''абсолютным моментом порядка k'' называется величина <math>\operatornamemathop{\mathbb{E}}|{\xi}|^k </math>; ''центральным моментом порядка k'' - величина <math>\mu_k = \operatornamemathop{\mathbb{E}}({\xi} -\operatornamemathop{\mathbb{E}} {\xi}) ^k </math>.
 
=== Функциональные характеристики случайных величин ===
==== Производящая функция ====
Пусть <math>\xi</math> целочисленная случайная величина, принимающая в зависимости от случайного исхода одно из значений <math> k = 0, 1, 2, . . .\dotsc </math> с соответствующими вероятностями <math>P_\xi(k) </math>. Функция <math>\phi_\xi(z)</math> переменной <math>z</math>, <math>|z| \leqslant 1 </math>, определяемая формулой
:: <math>\phi_\xi(z) = \sum_{k=0}^{\infty} P_\xi(k)z^k </math>,
называется производящей функцией распределения случайной величины <math>\xi</math>. Она является аналитической функцией от <math>z</math>, <math>|z| \leqslant 1 </math>, и приведённая формула даёт ее разложение в степенной ряд. Распределение вероятностей <math>P_\xi(k) </math> однозначно определяется своей производящей функцией:
::<math>P_\xi(k) = \frac{1}{k!} \phi_{\xi}^{(k)}(0) \quad(k = 1, 2 ,3, . . .\dotsc),</math>
где <math> \phi_{\xi}^{(k)}(0) </math> — значение производной <math> \frac{d^k \phi_{\xi}(z)}{dz^k} </math> в точке z = 0.<br>[[Производящая функция последовательности|Производящая функция]] <math>\phi_\xi(z)</math> при фиксированном <math>z</math> совпадает с математическим ожиданием случайной величины <math>\eta = z^{\xi}</math>:
:: <math>\phi_\xi(z) = \operatornamemathop{\mathbb E}z^\xi </math>.
[[Производящая функция]] <math>\phi_\xi(z)</math> при фиксированном <math>z</math> совпадает с математическим ожиданием случайной величины <math>\eta = z^{\xi}</math>:
Если случайная величина <math>\xi</math> имеет математическое ожидание <math> \operatornamemathop{\mathbb{E}}\xi </math> и дисперсию <math> \operatorname{D}\xi </math>, то
:: <math>\phi_\xi(z) = \operatorname{E}z^\xi </math>.
:: <math>\operatornamemathop{\mathbb{E}}\xi = {\phi_{\xi}}'(1)</math>,
Если случайная величина <math>\xi</math> имеет математическое ожидание <math> \operatorname{E}\xi </math> и дисперсию <math> \operatorname{D}\xi </math>, то
:: <math>\operatorname{E}\xi = {\phi_{\xi}}'(1)</math>,
:: <math> \operatorname{D}\xi = {\phi_{\xi}}''(1) + {\phi_{\xi}}'(1) - {[{\phi_{\xi}}'(1)]}^2</math>.
Для производящей функции случайной величины, равной сумме <math>\xi =\xi_1 +. . .\dotsb+ \xi_n </math> независимых случайных величин <math>\xi_1, . . .\dotsc, \xi_n </math> — с производящими функциями <math>\phi_{{\xi}_1}(z), . . .\dotsc, \phi_{{\xi}_n}(z)</math> справедлива следующее:
:: <math> \phi_{\xi}(z) = \phi_{{\xi}_1}(z). . .\dotsb \phi_{{\xi}_n}(z)</math>.
 
==== Характеристическая функция ====
Пусть <math>\xi = (\xi_1 , ...\dotsc , \xi_n ) </math> векторная случайная величина в <math> n</math>-мерном действительном пространстве <math>(R^n, \mathfrak{B})</math>, где <math>\mathfrak{B}</math> [[Борелевская сигма-алгебра|борелевская <math>\sigma</math>-алгебра]]. Функция <math>F_{\xi}(x) = P\left\{{\xi_1} \leqslant x_1, ...\dotsc ,{\xi_n} \leqslant x_n \right\} </math> переменной <math> x = (x_1, ...\dotsc , x_n), x\in R^n</math>, называется ''функцией распределения'' случайной величины <math>\xi </math> ( или ''функцией совместного распределения'' величин <math>\xi_1, ...\dotsc , \xi_n </math>). Функция
:: <math>\phi_{\xi}(u) = \operatornamemathop{\mathbb{E}}e^{i(u,\xi)} = \int\limits_{R^n}{e^{i(u,x)}} P_\xi(dx) </math>, где <math>(u, \xi) = \sum^{n}_{k=1} u_k{\xi}_k, (u, x) = \sum^{n}_{k=1} u_k x_k </math>,
переменной <math> u = (u_1, ...\dotsc ,u_n) </math> на <math>n</math> - мерном действительном пространстве называется ''характеристической функцией'' случайной величины <math>\xi </math> (или величин <math>\xi_1 , ...\dotsc , \xi_n </math>). Она непрерывна и положительно определена в том смысле, что
:: <math> \sum_{k ,j}{\lambda}_k \overline{{\lambda}_j} {\phi}_{\xi}(u_k-u_j) \geqslant 0</math> <br>
для любых <math>u_1, u_2, ...\dotsc \in R^n </math> и любых чисел <math> \lambda_1, \lambda_2..., \dotsc </math> при этом <math>\phi(0) = 0 </math>. Всякая функция <math> \phi = \phi (u) </math>, обладающая указанными свойствами, является характеристической функцией некоторой случайной величины <math>\xi </math>.<br>
 
И функция распределения <math> F_{\xi} = F_{\xi} (x)</math> и характеристическая функция <math> {\phi}_{\xi} = {\phi}_{\xi} (u)</math> однозначно определяют распределение вероятностей <math> P_{\xi} = P_{\xi} (B)</math>, <math>B \in \mathfrak{B}</math>, случайной величины <math>\xi </math>.
 
==== Семиинварианты ====
Если <math>\operatornamemathop{\mathbb{E}}|{\xi}|^k<\infty</math>, то в некоторой окрестности точки <math>t = 0 </math> функция <math>\ln\phi_{\xi}(t)</math> (ветвь логарифма, равная нулю в нуле) непрерывно дифференцируется до порядка <math>k</math>. Значение
:: <math> {\varkappa}_k = (-i)^k{{d^k} \over{{dt}^k}}{\cdot\ln}{\phi}_{\xi}(t)\BigrBiggr|_{t=0} </math>
называется ''семиинвариантом порядка k''.
 
{{main|Условная вероятность|Условное математическое ожидание}}
{{seealso|Условное распределение}}
Пусть <math>(\Omega,\mathfrak{A},P)</math> — пространство элементарных событий и <math>\mathfrak{B} </math> - некоторая <math>\sigma</math> - алгебра, содержащаяся в <math> \mathfrak{A} </math>. Условная вероятность события <math>A\in\mathfrak{A}</math> относительно <math>\sigma</math> - алгебры <math>\mathfrak{B}</math>, обозначаемая <math>P(A|\mid \mathfrak{B})</math>, определяется как неотрицательная функция от элементарных исходов <math>\omega</math>, <math>0 \leqslant{P}(A|\mid \mathfrak{B}) \leqslant 1</math>, измеримая относительно <math>\mathfrak{B} </math>, для которой
::<math> \int\limits_{B}P(A|\mid \mathfrak{B})P(d\omega) = P(AB) </math>
для любых <math>B\in\mathfrak{B}</math>. Функция <math>P(A|\mid\mathfrak{B})</math> на множестве элементарных событий <math>\Omega</math> определена однозначно для почти всех элементарных исходов <math>\omega</math> и представляет собой плотность распределения <math>P(AB)</math>, <math>B\in\mathfrak{B}</math>, относительно распределения <math>P(B)</math> на <math>\sigma</math> - алгебре <math>\mathfrak{B} \subseteq\mathfrak{A}</math>. <br>Условная вероятность <math>P_{\mathfrak{B}} = P(A\mid\mathfrak{B})</math>, рассматриваемая как функция <math>A\in\mathfrak{A}</math> со значениями в нормированном пространстве <math>L^1(\Omega)</math> всех интегрированных (действительных и комплексных) функций <math>\xi = \xi(\omega)</math> на <math>\Omega:\|\xi\| = \mathop{\mathbb{E}}|{\xi}|</math>, представляет собой обобщенную меру на <math>\sigma</math>-алгебре <math> \mathfrak{A} </math> пространства <math>\Omega</math>, вариация которой есть
:: <math>\operatorname{Var} P(A|\mid\mathfrak{B}) = P(A) (A\in \mathfrak{A} )</math>.
Условная вероятность <math>P_{\mathfrak{B}} = P(A|\mathfrak{B})</math>, рассматриваемая как функция <math>A\in\mathfrak{A}</math> со значениями в нормированном пространстве <math>L^1(\Omega)</math> всех интегрированных (действительных и комплексных) функций <math>\xi = \xi(\omega)</math> на <math>\Omega:\|\xi\| = \operatorname{E}|{\xi}|</math>, представляет собой обобщенную меру на <math>\sigma</math> - алгебре <math> \mathfrak{A} </math> пространства <math>\Omega</math>, вариация которой есть
Всякая случайная (действительная или комплексная ) величина <math>\xi = \xi(\omega)</math>, имеющая математическое ожидание (т.е. являющаяся интегрируемой функцией на пространстве <math>(\Omega,\mathfrak{A}, P)</math> с мерой <math>P</math>), интегрируема по отношению к обобщенной мере <math>P_{\mathfrak{B}} = P(A|\mid\mathfrak{B})</math>. Соответствующий интеграл
:: <math>Var P(A|\mathfrak{B}) = P(A) (A\in \mathfrak{A} )</math>.
:: <math>\mathop{\mathbb E}(\xi |\mid \mathfrak{B})=\int\limits_{\Omega}\xi(\omega)\, P(d\omega|\mid \mathfrak{B})</math>
Всякая случайная (действительная или комплексная ) величина <math>\xi = \xi(\omega)</math>, имеющая математическое ожидание (т.е. являющаяся интегрируемой функцией на пространстве <math>(\Omega,\mathfrak{A}, P)</math> с мерой <math>P</math>), интегрируема по отношению к обобщенной мере <math>P_{\mathfrak{B}} = P(A|\mathfrak{B})</math>. Соответствующий интеграл
:: <math>{E}(\xi |\mathfrak{B})=\int\limits_{\Omega}\xi(\omega)\, P(d\omega|\mathfrak{B})</math>
называется ''условным математическим ожиданием'' случайной величины <math>\xi</math>.
=== Теорема Байеса ===
{{main|Теорема Байеса}}
В терминах событий для случайной величины <math>\xi</math> и событий <math>A</math> и <math>B</math>, при условии, что <math>P\Pr(\xi \in A) \neq 0</math> справедлива формула Байеса <ref name = Ширяев>{{книга
|автор = [[Ширяев, Альберт Николаевич|Ширяев А. Н.]]
|заглавие = Вероятность
|тираж =
}}</ref>:
:: <math>P\Pr(\xi \in A \mid \xi \in B) = \frac{P\Pr(\xi \in B \mid \xi \in A)\,cdot P\Pr(\xi \in A)}{P\Pr(\xi \in B)}\cdot</math>
Для полного набора попарно несовместных событий <math>A_i</math> и любого события <math>B</math> с учётом [[формула полной вероятности| формулы полной вероятности]] <ref name = Ширяев/>:
:: <math>P\Pr(\xi \in B)=\sum^n_{i=1} P\Pr(\xi \in B|\mid \xi \in A_i)P\cdot \Pr(\xi \in A_i)</math>
справедлива теорема Байеса:
::<math>P\Pr(\xi \in A_j|\mid \xi \in B)=\frac {P\Pr(\xi \in A_j)P\cdot \Pr(\xi \in B|\mid \xi \in A_j)}{\sum^n_{i=1} P\Pr(\xi \in A_i)P\cdot \Pr(\xi \in B|\mid \xi \in A_i)}</math>.
В разных источниках, используется различная терминология для различных представлений теоремы Байеса.
=== Функции от случайных величин ===
Если <math>f(x)</math> — [[борелевская функция]], а <math>\xi</math> - случайная величина, то ее функциональное преобразование <math>\eta=f(\xi)</math> также является случайной величиной. Например, если <math>\xi</math> — [[Нормальное распределение|стандартная нормальная случайная величина]], то случайная величина <math>\chi^2 = \xi^2</math> имеет [[распределение хи-квадрат]] с одной степенью свободы. Многие распределения, в том числе [[распределение Фишера]], [[распределение Стьюдента]] являются распределениями функциональных преобразований нормальных случайных величин.
 
Если <math>\xi</math> и <math>\eta</math> с совместным распределением <math>F_{\xi\eta}(x, y) </math>, а <math>\phi = \phi(x, y)</math> - некоторая борелевская функция, то для <math> \zeta = \phi(\xi, \eta) </math> справедливо <ref name = Ширяев/>:
:: <math>F_{\zeta}(z) = \int\limits_{\{x, y: \phi(x, y) \leqslant z\}} \, dF_{\xi\eta}(x, y) </math>.
Если <math> \phi(x, y) = x+y</math>, <math>\xi</math> и <math>\eta</math> независимы, то <math>F_{\xi\eta}(x, y) = F_{\xi}(y) F_{\eta}(y) </math>. Применяя [[теорема Фубини|теорему Фубини]] получаем:
Если <math>F</math> и <math>G</math> функции распределения, то функцию
:: <math>H(z) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \, F(z-x) dG(x) </math>
называют [[Свёртка (математический анализ) |свёрткой]] <math>F</math> и <math>G</math> и обозначают <math>F*G</math>.<br>Характеристическая функция <math>\zeta = \xi +\eta</math> суммы независимых случайных величин <math>\xi</math> и <math>\eta</math> является фурье-преобразование свертки <math>F*G</math> функций распределения <math>F</math> и <math>G</math> и равна произведения характеристических функций <math>\xi</math> и <math>\eta</math>:
Характеристическая функция <math>\zeta = \xi +\eta</math> суммы независимых случайных величин <math>\xi</math> и <math>\eta</math> является фурье-преобразование свертки <math>F*G</math> функций распределения <math>F</math> и <math>G</math> и равна произведения характеристических функций <math>\xi</math> и <math>\eta</math>:
:: <math>\phi_{\zeta}(u) = \phi_{\xi}(u)\phi_{\eta}(u) </math>.
=== Центральные предельные теоремы ===
Если монета идеальная, то выигрыш <math>\xi</math> будет иметь вероятность, заданную как:
: <math>
P\Pr(\xi=y) =
\begin{cases}
\tfrac 12,& \text{если }y=10,\\[6pt]
</math>
 
: где <math>P\Pr(\xi=y)</math> — вероятность получения <math>y</math> рублей выигрыша при одном подбрасывании монеты.
[[Файл:Dice Distribution (bar).svg|справа|мини|Если пространство исходов равно множеству всех возможных комбинаций очков на двух костях, и случайная величина равна сумме этих очков, тогда ''S'' — дискретная случайная величина, чьё распределение описывается [[Функция вероятности|функцией вероятности]], значение которой изображено как высота соответствующей колонки.]]
 
: <math>\xi((n_1, n_2)) = n_1 + n_2</math>
и (если кости идеальные) [[функция вероятности]] для <math>\xi</math> задаётся через:
: <math>P\Pr(S) = \frac{\min(S-1, 13-S)}{36}, \text{ for } S \in \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}</math>,
: где <math>S</math> — сумма очков на выпавших костях.
 
 
=== Непрерывная случайная величина ===
Другой класс случайных величин - такие, для которых существует неотрицательная функция <math>p(x)</math>, удовлетворяющая при любых <math>x</math> равенству <math>P(\omega|\mid \xi(\omega)\leq x) = \textstyle \int\limits_{-\infty}^{x} \displaystyle p(z)dz</math>. Случайные величины, удовлетворяющие этому свойству называются '''непрерывными''', а функция <math>p(x)</math> называется плотностью распределения вероятностей.
 
Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Пример непрерывной случайной величины: измерение скорости перемещения любого вида транспорта или температуры в течение конкретного интервала времени.<ref name = ТГУ/>