Википедия

Богомолов, Фёдор Алексеевич: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории
[непроверенная версия][отпатрулированная версия]
← Предыдущая правкаСледующая правка →
Содержимое удалено Содержимое добавлено
ВизуальныйВики-текст
м Бот: замена устаревшего математического синтаксиса в соответствии с mw:Extension:Math/Roadmap
Строка 54:
В [[1996 год]]у Богомолов описал построенные [[Гуан, Дэн|Гуаном]] примеры некэлеровых голоморфно симплектических многообразий как схемы Гильберта точек на [[поверхность Кодаиры — Тёрстона|поверхности Кодаиры — Тёрстона]].<ref>F. A. Bogomolov, “On Guan's examples of simply connected non-Kähler compact complex manifolds”, Amer. J. Math., 118:5 (1996), 1037–1046</ref> Эти многообразия впоследствии получили название ''многообразий Богомолова — Гуана'', они во многом схожи с гиперкэлеровыми многообразиями — в частности, допускают вариант формы Бовиля — Богомолова.
 
Работы Богомолова о голоморфно симплектических многообразиях, написанные во второй половине 2010-х годов, касаются в основном автоморфизмов гиперкэлеровых многообразий,<ref>Fedor Bogomolov, Ljudmila Kamenova, Steven Lu, Misha Verbitsky. [https://arxiv.org/abs/1601.04333 On the Kobayashi pseudometric, complex automorphisms and hyperkaehler manifolds], 2016</ref><ref>Fedor Bogomolov, Ljudmila Kamenova, Misha Verbitsky. [https://arxiv.org/abs/1709.09774 Algebraically hyperbolic manifolds have finite automorphism groups], 2017</ref><ref>Fedor Bogomolov, Nikon Kurnosov, Alexandra Kuznetsova, Egor Yasinsky. [https://arxiv.org/abs/2005.01193 Geometry and automorphisms of non-Kähler holomorphic symplectic manifolds], 2020</ref> и написаны в соавторстве с различными математиками (в том числе Вербицким и [[Каменова, Людмила|Каменовой]]). Отдельно стоит отметить статью ''Lagrangian fibrations for IHS fourfolds'', написанную в сотрудничестве с [[Курносов, Никон Михайлович|Курносовым]], в которой была решена [[гипотеза Мацушиты]] для четырёхмерных гиперкэлеровых многообразий, утверждающая отсутствие кратных слоёв у лагранжевых расслоений на них (откуда следует, что база такого расслоения есть <math>\CComplex\mathrm{P}^2</math>).<ref>Fedor Bogomolov, Nikon Kurnosov. [https://arxiv.org/abs/1810.11011 Lagrangian fibrations for IHS fourfolds], 2018</ref> Примерно в то же время эти результаты получили [[Хёйбрехтс, Даниэль|Хёйбрехтс]] и [[Сюй Чэньян|Сюй]].<ref>Daniel Huybrechts, Chenyang Xu. [https://arxiv.org/abs/1902.10440 Lagrangian fibrations of hyperkähler fourfolds], 2019</ref>
 
=== Слоения и голоморфные симметрические тензоры ===
Строка 73:
'''Теорема.''' Пусть <math>X</math> — проективное многообразие, и <math>L \subset \Omega^p</math> — когерентный подпучок ранга один. Тогда [[размерность Иитаки]] <math>\kappa(X,L)</math> этого подпучка не превосходит <math>p</math>. Более того, в случае равенства <math>\kappa(X,L) = p</math> существует расслоение над <math>p</math>-мерной базой <math>f \colon X \to Y</math> такое, что <math>L = f^*(K_Y)</math>.
 
Это обобщение классической [[теорема Кастельнуово — де Франкиса|теоремы Кастельнуово — де Франкиса]], утверждающей, что если две голоморфные 1-формы на проективной поверхности умножаются нулём, то эта поверхность может быть отображена на кривую таким образом, что эти две формы будут подъёмами абелевых дифференциалов на этой кривой. [[Кампана, Фредерик|Кампана]] ввёл на основании этой теоремы Богомолова понятие ''богомоловского подпучка'', насыщенного когерентного подпучка ранга один в пучке <math>\Omega^p</math> голоморфных <math>p</math>-форм на проективном многообразии, размерность Иитаки которого равняется <math>p > 0</math>. Многообразия, не допускающие богомоловских подпучков, называются ''специальными по Кампане''. Они служат базовым строительным блоком в ещё не вполне завершённом проекте Кампаны по представлению всякого алгебраического многообразия как расслоения со слоями, специальными по Кампане, над ''орбиобразием общего типа.'' Предполагается, что свойство отсутствия богомоловских подпучков эквивалентно широкому спектру свойств, как геометрических (зануление [[псевдометрика Кобаяши|псевдометрики Кобаяши]]), так и теоретико-числовых (для многообразий, определённых над подполем <math>k \subset \CComplex</math> — [[топология Зарисского|плотность по Зариски]] точек, определённых над некоторым фиксированным конечным расширением <math>k' \supset k</math>; эквивалентность потенциальной плотности занулению псевдометрики Кобаяши — вариант хорошо известной в арифметической геометрии [[гипотеза Ленга|гипотезы Ленга]]).<ref> Frédéric Campana. [https://arxiv.org/abs/math/0110051 Special Varieties and classification Theory], 2001</ref>
 
=== Теория инвариантов и вопросы рациональности ===
Строка 80:
'''Задача [[Нётер, Эмми|Нётер]].''' Пусть <math>V</math> — комплексное векторное пространство, и <math>G</math> — действующая на нём конечная группа. Верно ли, что фактор <math>V/G</math> есть рациональное многообразие?
 
Например, для <math>V = \CComplex^n</math> и <math>G = \mathrm{Sym}(n)</math>, симметрической группы, действующей на нём перестановкой координатных осей, рациональность такого фактора является хорошо известной [[симметрический многочлен#Основная_теорема_теории_симметрических_многочленов|основной теоремой теории симметрических многочленов]]. Примеры, в котором такой фактор не является рациональным, были обнаружены в [[1969 год]]у [[Сван, Ричард|Сваном]] и в [[1984 год]]у [[Зальтман, Дэвид|Зальтманом]]. Доказательство последнего опиралось на анализ [[группа Брауэра|группы Брауэра]] такого фактора. В статье [[1987 год]]а ''Группа Брауэра факторпространств линейных представлений''<ref>Ф. А. Богомолов, [http://mi.mathnet.ru/rus/im1306 “Группа Брауэра факторпространств линейных представлений”], Изв. АН СССР. Сер. матем., 51:3 (1987), 485–516</ref> Богомолов доказал, что эта группа Брауэра может быть выражена исключительно в терминах алгебры: именно, она совпадает с подргуппой <math>B_0 \subset H^2(G, \Q/\Z)</math> во вторых [[когомологии групп|когомологиях группы]] <math>G</math>, состоящей из элементов, ограничивающихся нулём на все абелевы подгруппы в группе <math>G</math>. Аналогичный результат Богомолов получил для точных представлений комплексных алгебраических групп (рациональность некоторых таких факторов доказана в его более ранней статье [[1985 год]]а, написанной в соавторстве с [[Кацыло, Павел Иванович|Кацыло]]<ref>Ф. А. Богомолов, П. И. Кацыло, [http://mi.mathnet.ru/rus/sm1953 “Рациональность некоторых фактор-многообразий”], Матем. сб., 126(168):4 (1985), 584–589</ref>).
 
Богомолов также изучал абелевы подгруппы абсолютных [[группа Галуа|групп Галуа]] полей мероморфных функций на произвольных алгебраических многообразиях, в частности, доказал, что абелева подгруппа ранга более одного содержится в некоторой подгруппе ветвления (то есть существует [[нормирование]] <math>\nu</math> такое, что подгруппа содержится в подгруппе Галуа <math>\mathrm{Gal}(K_\nu) \subset \mathrm{Gal}(K)</math>, группе Галуа пополнения поля в этом нормировании).<ref>Ф. А. Богомолов, [http://mi.mathnet.ru/rus/im1021 “Абелевы подгруппы групп Галуа”], Изв. АН СССР. Сер. матем., 55:1 (1991), 32–67</ref> Эти результаты были впоследствии усилены им совместно с [[Чинкель, Юрий|Чинкелем]].<ref>Fedor Bogomolov, Yuri Tschinkel. [https://arxiv.org/abs/math/0012245 Commuting elements in Galois groups of function fields], 2000</ref><ref>Fedor Bogomolov, Yuri Tschinkel. [https://arxiv.org/abs/1711.09465 Noether's problem and descent], 2017</ref> Также близкие результаты были получены этими двумя математиками для многообразий над конечными полями: поле рациональных функций на алгебраическом многообразии размерности более одного над конечным полем с точностью до чисто несепарабельного расширения восстанавливается по фактору по второму члену нижнего [[центральный ряд|центрального ряда]] про-<math>\ell</math>-пополнения группы Галуа<ref>Fedor Bogomolov, Yuri Tschinkel, [http://mi.mathnet.ru/rus/mmj417 “Reconstruction of higher-dimensional function fields”], Mosc. Math. J., 11:2 (2011), 185–204</ref> (в нулевой характеристике они доказали теорему о восстановлении поля рациональных функций по его первой и второй [[К-теория Милнора|K-группам Минлора]]).<ref>Fedor Bogomolov, Yuri Tschinkel. [https://arxiv.org/abs/0902.4875 Milnor K_2 and field homomorphisms], 2009</ref>
Строка 90:
Богомолов выдвинул ряд гипотез о структуре точек [[кручение (алгебра)|кручения]] на [[эллиптическая кривая|эллиптических кривых]] и [[абелево многообразие|абелевых многообразиях]]. Наиболее просто формулируется следующая его
 
'''Гипотеза.''' Пусть <math>E</math>, <math>E'</math> — две эллиптические кривые, и <math>E, E' \to \CComplex\mathrm{P}^1</math> — стандартные проекции, отождествляющие пары точек <math>x</math> и <math>-x</math>. Тогда проекции множеств точек кручения в <math>E</math> и <math>E'</math> либо совпадают, и <math>E \simeq E'</math>, либо имеют не более чем <math>B</math> общих точек, где <math>B</math> — априорная константа.
 
Эта гипотеза доказана [[Марко, Лора де|Лорой де Марко]], [[Кригер, Холли|Холли Кригер]] и [[Е Хэси]].<ref>Laura DeMarco, Holly Krieger, Hexi Ye. [https://arxiv.org/abs/1901.09945 Uniform Manin-Mumford for a family of genus 2 curves], 2019</ref> Более известная гипотеза Богомолова также связана с гипотезой Манина — Мамфорда, и утверждает, что при всяком вложении кривой, определённой над числовым полем, в её [[якобиево многообразие]], число точек достаточно малой высоты Нерона — Севери, лежащих на этой кривой, конечно (поскольку точки кручения это в точности точки нулевой высоты Нерона — Севери, отсюда следует гипотеза Манина — Мамфорда о конечности числа точек кручения на кривой, лежащей в своём якобиевом многообразии). Эта гипотеза доказана [[Юлльмо, Эммануэль|Юлльмо]] и [[Чжан Шоуву|Чжаном]].
Источник — https://ru.wikipedia.org/wiki/Богомолов,_Фёдор_Алексеевич