Ковариантная производная: различия между версиями

В общем же случае необходимо учесть изменение базисных векторов при [[Параллельный перенос|параллельном переносе]]. Пример: ковариантная производная, записанная в полярных координатах двухмерного евклидова пространства, содержит дополнительные слагаемые, которые описывают «вращение» самой системы координат при параллельном переносе. В других случаях формула ковариантной производной может включать в себя члены, соответствующие сжатию, растяжению, кручению, переплетению и прочим преобразованиям, которым подвержена произвольная криволинейная система координат.

 

 

В криволинейном пространстве, каковым является, к примеру, поверхность Земли, не определён однозначный [[параллельный перенос]]. Вместо этого определена операция [[Параллельное перенесение|параллельного перенесения]] вектора из одной точки в другую, которая зависит от выбора траектории. Действительно, представим вектор <math>{\mathbf e}</math>, определённый в точке <math>Q</math> (которая лежит на экваторе), и направленный к северному полюсу. Используя параллельное перенесение, сперва переместим вектор вдоль экватора, не меняя его направления, затем поднимем <math>{\mathbf e}</math> вдоль какого-либо меридиана к северному полюсу, и опустим обратно к экватору вдоль другого меридиана. Очевидно, что такое перемещение вектора вдоль замкнутого пути на сфере изменит его ориентацию. Подобный феномен вызван ''кривизной'' поверхности глобуса и не наблюдается в евклидовом пространстве. Он возникает на многообразиях при перемещении вектора вдоль любого (даже бесконечно малого) замкнутого контура, включающего в себя движение вдоль как минимум двух различных направлений. В таком случае предел инфинитезимального приращения вектора является мерой кривизны многообразия.