Окрестность: различия между версиями

5041 байт добавлено ,  3 месяца назад
м
откат правок 188.126.50.51 (обс.) к версии 145.255.173.83
Метки: визуальный редактор удаление текста отменено
м (откат правок 188.126.50.51 (обс.) к версии 145.255.173.83)
Метка: откат
[[Файл:Neighborhood illust1.svg|right|thumb|На [[Плоскость (геометрия)|плоскости]] подмножество <math>V</math> является окрестностью точки <math>p</math>, если вокруг точки можно нарисовать небольшой диск, который будет целиком содержаться в <math>V</math>.]]
[[Файл:Neighborhood illust2.svg|right|thumb|Прямоугольник не может являться окрестностью своих вершин.]]
'''Окре́стность точки''' — множество, содержащее данную точку, и близкие (в каком-либо смысле) к ней. В разных разделах математики это понятие определяется по-разному.
 
== Определения ==
 
=== Математический анализ ===
{{main|ε-окрестность}}
 
Пусть <math>\varepsilon>0</math> произвольное фиксированное число.
 
Окрестностью точки <math>x_0</math> на числовой прямой (иногда говорят <math>\varepsilon</math>-окрестностью) называется множество точек, удаленных от <math>x_0</math> менее чем на <math>\varepsilon</math>, то есть
<math>O_\varepsilon(x_0) =\{x: |x-x_0|< \varepsilon\}</math>.
 
В многомерном случае функцию окрестности выполняет открытый <math>\varepsilon</math>-шар с центром в точке <math>x_0</math>.
 
В [[Банахово пространство|банаховом пространстве]] <math>(B,\|\cdot\|)</math> окрестностью с центром в точке <math>x_0</math> называют множество <math>A=\{x\in B:\|x-x_0\|<\varepsilon\}</math>.
 
В [[Метрическое пространство|метрическом пространстве]] <math>(M,\rho)</math> окрестностью с центром в точке <math>y</math> называют
множество <math>A=\{x\in M:\rho(x,y)<\varepsilon\}</math>.
 
=== Общая топология ===
 
Пусть задано [[топологическое пространство]] <math>(X,\mathcal{T})</math>, где <math>X</math> — произвольное [[множество]], а <math>\mathcal{T}</math> — определённая на <math>X</math> [[Топология (структура)|топология]].
* Множество <math>V \subset X</math> называется окрестностью точки <math>x\in X</math>, если существует [[открытое множество]] <math>U\in \mathcal{T}</math> такое, что <math>x \in U \subset V</math>.
* Аналогично окрестностью множества <math>M \subset X</math> называется такое множество <math>V \subset X</math>, что существует открытое множество <math>U\in \mathcal{T}</math>, для которого выполнено <math>M \subset U \subset V</math>.
 
== Замечания ==
{{Викисловарь|окрестность}}
 
* Приведённые выше определения не требуют, чтобы окрестность <math>V</math> была открытым множеством, но лишь чтобы она содержала открытое множество <math>U</math>. Некоторые авторы настаивают на том, что любая окрестность открыта.{{sfn|Рудин|1975|c=13}} Тогда окрестностью множества называется любое содержащее его открытое множество. Это не принципиальное для развития дальнейшей топологической теории различие. Однако в каждом случае важно фиксировать терминологию.
 
* Окрестностью множества точек <math>M</math> называется такое множество <math>V</math>, что <math>V</math> есть окрестность любой точки <math>x\in M</math>.
 
== Пример ==
 
Пусть дана [[Вещественное число|вещественная прямая]] со [[Стандартная топология вещественной прямой|стандартной топологией]].
Тогда <math>(-1,2)</math> является открытой окрестностью,
а <math>[-1,2]</math> — замкнутой окрестностью точки <math>0</math>.
 
== Вариации и обобщения ==
 
=== Проколотая окрестность ===
Проколотой окрестностью точки называется окрестность точки, из которой исключена эта точка.
 
Строго говоря, проколотая окрестность не является окрестностью точки, так как согласно определению окрестности окрестность должна включать и саму точку.
 
Формальное определение:
Множество <math>\dot{V}</math> называется '''проколотой окрестностью''' (вы́колотой окрестностью) точки <math>x\in X</math>, если
: <math>\dot{V} = V \setminus \{x\},</math>
где <math>V</math> — окрестность <math>x</math>.