Взаимно простые числа: различия между версиями

викификация, оформление
[отпатрулированная версия][отпатрулированная версия]
(-1 никак не может быть НАИБОЛЬШИМ общим делителем)
Метка: отмена
(викификация, оформление)
 
Если числа <math>a_1, \ldots , a_n</math> — попарно простые числа, то:
* их [[наименьшее общее кратное]] равно абсолютному[[Абсолютная значениювеличина|абсолютной величине]] их произведения: <math>|a_1 \cdot \ldots \cdot a_n|</math>;
* для любого целого <math>b</math> имеет место формула<ref>{{книга |автор=[[Нестеренко, Юрий Валентинович|Нестеренко Ю. В.]] |заглавие=Теория чисел |место=М. |издательство=Издательский центр «Академия» |год=2008 |страницы=40 |страниц=272 |isbn=9785769546464}}</ref>:
: НОД<math>(a_1, a_2,\dots, a_n, b) = </math> НОД<math>(a_1, b)</math> НОД<math>(a_2, b)\dots</math> НОД<math>(a_n, b)</math>,
*Если числа <math>a</math> и <math>m</math> взаимно просты, то [[сравнение по модулю|сравнение]] <math>ax \equiv b \pmod m </math> для любого <math>b</math> имеет единственное решение{{sfn |Михелович|1967||с=64}} по модулю <math>m.</math> В частности, решение сравнения для <math>b=1</math> даёт [[обратный элемент]] для <math>a</math> в [[Кольцо вычетов по модулю m|кольце вычетов по модулю m]]. (См. ''[[Соотношение Безу]]'')
 
*Вероятность того, что любые <math>k</math> случайным образом выбранных положительных целых чиселчисла будут взаимно просты, равна <math>\dfrac{1} {\zeta(k)}</math>, в том смысле, что при <math>N\to\infty</math> вероятность того, что <math>k</math> положительных целых чисел, меньших, чем <math>{\textstyle{N}}</math> (и выбранных случайным образом), будут взаимно простыми, стремится к <math>\dfrac{1} {\zeta(k)}</math>. Здесь <math>\zeta(k)</math> — это [[дзета-функция Римана]].
 
== Таблица взаимной простоты чисел до 30 ==
Равносильные формулировки<ref name=LARIN/>:
* Элементы евклидова кольца взаимно просты, если они не имеют никаких общих делителей, кроме делителей единицы.
* ([[Соотношение Безу]]) Элементы <math>a,b</math> евклидова кольца <math>K </math>взаимно просты тогда и только тогда, когда существуют элементы <math>u,v \in K</math> такие, что <math>au+vb = 1.</math>
 
Имеет также место [[лемма Евклида]].