Математическое ожидание: различия между версиями

в русскоязычной литературе также встречается обозначение <math>M[X]</math> (возможно, от {{lang-en|Mean value}} или {{lang-de|Mittelwert}}, а возможно от «Математическое ожидание»). В статистике часто используют обозначение <math>\mu</math>.

 

 

На практике математическое ожидание обычно оценивается как среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины (выборочное среднее, среднее по выборке). Доказано, что при соблюдении определенных слабых условий (в частности, если выборка является случайной, то есть наблюдения являются независимыми) выборочное среднее ''стремится ''к истинному значению математического ожидания случайной величины при стремлении объема выборки (количества наблюдений, испытаний, измерений) к бесконечности.

=== Общее определение через интеграл Лебега ===

Пусть задано [[вероятностное пространство]] <math>(\Omega,\mathfrak{A},\mathbb{P})</math> и определённая на нём [[случайная величина]] <math>X</math>. То есть, по определению, <math>X\colon\Omega \to \mathbb{R}</math> — [[измеримая функция]]. Если существует [[интеграл Лебега]] от <math>X</math> по пространству <math>\Omega</math>, то он называется математическим ожиданием, или средним (ожидаемым) значением и обозначается <math>M[X]</math> или <math>\mathbb{E}[X]</math>.

 

=== Определение через функцию распределения случайной величины ===

Если <math>F_X(x)</math> — [[функция распределения]] случайной величины, то её математическое ожидание задаётся [[интеграл Лебега — Стилтьеса|интегралом Лебега — Стилтьеса]]:

 

=== Определение для абсолютно непрерывной случайной величины (через плотность распределения) ===

Математическое ожидание [[Абсолютно непрерывное распределение|абсолютно непрерывной случайной величины]], распределение которой задаётся [[Плотность вероятности|плотностью]] <math>f_X(x)</math>, равно

 

=== Определение для дискретной случайной величины ===

: <math>\Pr(X=x_i) = p_i</math> , <math>\sum\limits_{i=1}^{\infty} p_i = 1</math>,

то прямо из определения [[Интеграл Лебега|интеграла Лебега]] следует, что

 

==== Математическое ожидание целочисленной величины ====

: <math>q_k=\Pr(X>k)=\sum_{j=k+1}^\infty{p_j}</math> , <math>Q(s)=\sum_{k=0}^\infty q_k s^k.</math>

Эта производящая функция связана с определённой ранее функцией <math>P(s)</math> свойством: <math>Q(s)=\frac{1-P(s)}{1-s}</math> при <math>|s|<1</math>. Из этого по [[Формула конечных приращений|теореме о среднем]] следует, что математическое ожидание равно просто значению этой функции в единице:

 

== Математическое ожидание случайного вектора ==

Пусть <math>X=(X_1,\dots,X_n)^{\top}\colon\Omega \to \mathbb{R}^n</math> — случайный вектор. Тогда по определению

то есть математическое ожидание вектора определяется покомпонентно.

 

== Математическое ожидание преобразования случайной величины ==

Пусть <math>g\colon\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> — [[борелевы функции|борелевская функция]], такая что случайная величина <math>Y = g(X)</math> имеет конечное математическое ожидание. Тогда для него справедлива формула

если <math>X</math> имеет дискретное распределение;

если <math>X</math> имеет абсолютно непрерывное распределение.

 

Если [[распределение вероятностей|распределение]] <math>\mathbb{P}^X</math> случайной величины <math>X</math> общего вида, то

 

В специальном случае, когда <math>g(X) = X^k</math>, математическое ожидание <math>\mathbb{E}[g(X)] = \mathbb{E}[X^k]</math> называется [[Моменты случайной величины|<math>k</math>-м моментом]] случайной величины.

* Математическое ожидание числа (не случайной, фиксированной величины, константы) есть само число.

 

: <math>a \in \mathbb{R}</math> — константа;

 

: где <math>X,Y</math> — случайные величины с конечным математическим ожиданием, а <math>a,b\in \mathbb{R}</math> — произвольные константы;

 

* Математическое ожидание сохраняет неравенства, то есть если <math>0 \leqslant X \leqslant Y</math> [[Почти достоверное событие|почти наверняка]], и <math>Y</math> — случайная величина с конечным математическим ожиданием, то математическое ожидание случайной величины <math>X</math> также конечно, и более того

 

* Математическое ожидание не зависит от поведения случайной величины на событии вероятности нуль, то есть если <math>X = Y</math> [[Почти достоверное событие|почти наверняка]], то

 

* Математическое ожидание произведения двух [[Независимость (теория вероятностей)#Независимые случайные величины|независимых]] или [[Корреляция|некоррелированных]]<ref>{{Cite web|url=http://sernam.ru/book_tp.php?id=50|title=Теория вероятностей: 10.2. Теоремы о числовых характеристиках|publisher=sernam.ru|accessdate=2018-01-10}}</ref> случайных величин <math>X,Y</math> равно произведению их математических ожиданий

 

 

=== Неравенства, связанные с математическим ожиданием ===

{{Нет источников в разделе|дата=2016-05-13}}

: <math>\Pr\left(X \geqslant a\right) \leqslant \frac{\mathbb{E}(X)}{a}</math>, где <math>a>0</math>.

 

[[Теорема Леви о монотонной сходимости]].

 

: <math>\lim\limits_{n\to\infty}\mathbb{E}(X_n)=\mathbb{E}(X) </math> .

 

 

== Примеры ==

{{Нет источников в разделе|дата=2016-05-13}}

* Пусть случайная величина имеет [[дискретное равномерное распределение]], то есть <math>\mathbb{P}(X = x_i) = \frac{1}{n},\; i=1,\ldots, n.</math> Тогда её математическое ожидание

равно среднему арифметическому всех принимаемых значений.

* Пусть случайная величина имеет [[непрерывное равномерное распределение]] на интервале <math>[a,b]</math>, где <math>a<b</math>. Тогда её плотность имеет вид <math>f_X(x) = \frac{1}{b-a} \mathbf{1}_{[a,b]}(x)</math> и математическое ожидание равно

 

* Пусть случайная величина <math>X</math> имеет стандартное [[распределение Коши]]. Тогда

то есть математическое ожидание <math>X</math> не определено.

 

* [[Дисперсия случайной величины]]

* [[Моменты случайной величины]]