Окрестность: различия между версиями

3082 байта добавлено ,  2 месяца назад
Свойства, замечание
(отклонено последнее 1 изменение (Arventur): в этой секции описывается ε-окрестность (а не любой интервал))
Метка: ручная отмена
(Свойства, замечание)
* Множество <math>V \subset X</math> называется окрестностью точки <math>x\in X</math>, если существует [[открытое множество]] <math>U\in \mathcal{T}</math> такое, что <math>x \in U \subset V</math>.
* Аналогично окрестностью множества <math>M \subset X</math> называется такое множество <math>V \subset X</math>, что существует открытое множество <math>U\in \mathcal{T}</math>, для которого выполнено <math>M \subset U \subset V</math>.
 
==== Свойства ====
Совокупность <math>\sigma_{x}</math> всех окрестностей точки <math>x</math> в [[топологическое пространство|топологическом пространстве]] обладает следующими свойствами (здесь <math>U, V, W</math> - множества в топологическом пространстве,<math>y</math> - точка в топологическом пространстве):<ref name="Enz">Окрестность // [[Математический энциклопедический словарь]] / гл. ред. [[Прохоров, Юрий Васильевич|Ю. В. Прохоров]]. — М., [[Советская энциклопедия]], 1988. — с. 430</ref>
# <math>x \in U</math> <math>\forall</math> <math>U \in \sigma_{x}</math>.
# если <math>U \in \sigma_{x}</math> и <math>V \supset U</math>, то <math>V \in \sigma_{x}</math>.
# пересечение конечного числа окрестностей из <math>\sigma_{x}</math> принадлежит <math>\sigma_{x}</math>.
# <math>\forall</math> <math>U \in \sigma_{x}</math> <math>\exists</math> <math>V \in \sigma_{x}</math> такое, что <math>V \subset U</math> и <math><math>V \in \sigma_{y}</math> для всех <math>y \in V</math>.
 
Совокупность только открытых окрестностей обладает следующими свойствами:
# <math>x \in U</math> <math>\forall</math> <math>U \in \sigma_{x}</math>.
# если <math>U \in \sigma_{x}</math>, <math>V \in \sigma_{x}</math>, то <math>\exists</math> <math>W \subset U \cap V \in \sigma_{x}</math>.
# если <math>U \in \sigma_{x}</math> и <math>y \in U</math>, то <math>\exists</math> <math>V \in \sigma_{y}</math>, <math>V \in U</math>.
 
 
== Замечания ==
 
* Окрестностью множества точек <math>M</math> называется такое множество <math>V</math>, что <math>V</math> есть окрестность любой точки <math>x\in M</math>.
 
* Некоторые авторы разграничивают понятия окрестности точки на прямой или в евклидовом пространстве и ε-окрестности. Окрестностью точки на прямой они называют любой [[интервал (математика)|интервал]], содержащий эту точку.<ref name="Enz"></ref>
<ref>''[[Хинчин, Александр Яковлевич|Хинчин А. Я.]]'' Восемь лекций по математическому анализу. — М., Л., Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1948. — с. 33</ref>, а окрестностью точки в евклидовом пространстве они называют
произвольное открытое множество евклидова пространства, содержащее эту точку.<ref>''Воднев В. Г., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф.'' Математический словарь высшей школы. - М., МПИ, 1988. - с. 278</ref>
 
== Пример ==
11 985

правок