Теорема о сумме углов треугольника: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
→В неевклидовых геометриях: Empty Метки: замена отменено через визуальный редактор |
м автоматическая отмена правки участника 62.209.155.145 (0.931/0.037) Метка: откат |
||
Строка 1:
[[Файл:TriangleWithLine.gif|thumb|250px|right|Треугольник]]
'''[[Теорема]] о сумме углов [[треугольник]]а''' — классическая теорема [[Евклидова геометрия|евклидовой геометрии]].
==Формулировка==
Сумма углов треугольника на евклидовой плоскости равна 180[[Градус, минута, секунда|°]].<ref>[https://arxiv.org/pdf/1806.06942.pdf Геометрия по Киселёву], §81.</ref>
== Доказательство ==
Пусть <math>\Delta ABC</math> — произвольный треугольник. Проведём через вершину ''B'' прямую, параллельную прямой ''AC''. Отметим на ней точку ''D'' так, чтобы точки ''A'' и ''D'' лежали по разные стороны от прямой ''BC''. Углы ''DBC'' и ''ACB'' равны как внутренние накрест лежащие, образованные секущей ''BC'' с параллельными прямыми ''AC'' и ''BD''. Поэтому сумма углов треугольника при вершинах ''B'' и ''С'' равна углу ''ABD''. Сумма всех трёх углов треугольника равна сумме углов ''ABD'' и ''BAC''. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных ''AC'' и ''BD'' при секущей ''AB'', то их сумма равна 180°. ''Что и требовалось доказать.''
== Следствия ==
* В треугольнике не может быть двух тупых или двух прямых углов, потому что тогда сумма углов была бы больше 180°. По той же причине треугольник не может содержать тупой и прямой углы одновременно.
* У любого треугольника не меньше двух острых углов. Действительно, случай, когда у треугольника только один острый угол или вообще нет острых углов, противоречит предыдущему следствию.
* В [[Прямоугольный треугольник|прямоугольном треугольнике]] оба угла при гипотенузе — острые.
* В [[Равнобедренный треугольник|равнобедренном треугольнике]] углы при основании равны, поэтому тупым может быть только угол, противолежащий основанию.
* В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы при гипотенузе равны (180° - 90°) /2 = 45°.
* В [[Равносторонний треугольник|равностороннем треугольнике]] все три угла совпадают и поэтому равны 180° / 3 = 60°.
* ([[Теорема о внешнем угле треугольника]]) Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним{{sfn |Элементарная математика|1976|с=421}}.
== Вариации и обобщения ==
=== Многоугольники ===
{{main|Теорема о сумме углов многоугольника}}
=== Обобщение для симплексов ===
Существует более сложное соотношение между [[Двугранный угол|двугранными углами]] произвольного [[симплекс]]а. А именно, если <math>L_{ij}</math> — угол между i и j гранями симплекса, то [[определитель]] следующей матрицы (являющейся [[циркулянт]]ом) равен 0:
: <math> \begin{vmatrix}
1 & -\cos L_{12} & -\cos L_{13} & \dots & -\cos L_{1(n+1)} \\
-\cos L_{21} & 1 & -\cos L_{23} & \dots & -\cos L_{2(n+1)} \\
-\cos L_{31} & -\cos L_{32} & 1 & \dots & -\cos L_{3(n+1)} \\
\vdots&\vdots & \vdots & \ddots&\vdots& \\
-\cos L_{(n+1)1} & -\cos L_{(n+1)2} & -\cos L_{(n+1)3} & \dots & 1 \\
\end{vmatrix} = 0</math>.
Это следует из того, что этот определитель является [[Определитель Грама|определителем Грама]] [[Нормаль|нормалей]] к граням симплекса, а определитель Грама [[линейная зависимость|линейно зависимых векторов]] равен 0, и <math>n+1</math> вектор в <math>n</math>-мерном пространстве всегда линейно зависимы.
=== В неевклидовых геометриях ===
[[File:Triangolo_sferico.jpg|thumb|[[Сферический треугольник]]]]
Приведённое в этой статье доказательство опирается на определённое свойство параллельных прямых, а именно — утверждение о том, что внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны. Доказательство этого утверждения, в свою очередь, использует [[Аксиома параллельности|аксиому параллельности]] евклидовой геометрии. Можно показать, что ''любое'' доказательство теоремы о сумме углов треугольника будет использовать аксиому параллельности, и наоборот — из утверждения, что сумма углов треугольника равна 180°, можно вывести аксиому параллельности, если даны остальные аксиомы классической геометрии ([[абсолютная геометрия]])<ref>{{книга |автор=Лелон-Ферран Ж. |заглавие=Основания геометрии |место=М. |издательство=Мир |год=1989 |страниц=312 |страницы=255—256 |isbn=5-03-001008-4 }}</ref>.
Таким образом, равенство суммы углов треугольника 180° является одним из основных признаков именно евклидовой геометрии, отличающих её от неевклидовых, в которых аксиома параллельности не выполняется:
* На [[Сферическая геометрия|сфере]] сумма углов [[Сферический треугольник|треугольника]] всегда превышает 180°, разница называется [[Эксцесс (сферическая тригонометрия)|сферическим избытком]] и пропорциональна площади треугольника. У сферического треугольника могут быть два или даже три прямых или тупых угла.
:: Пример. Одна вершина треугольника на сфере — северный полюс. Этот угол может иметь значение до 180°. Две другие вершины лежат на экваторе, соответствующие углы равны 90°.
* В [[Геометрия Лобачевского|геометрии Лобачевского]] сумма углов треугольника всегда меньше 180° и может быть сколь угодно малой. Разность также пропорциональна площади треугольника.
== Примечания ==
{{примечания}}
== Литература ==
* {{книга |автор=Зайцев В. В., Рыжков В. В., [[Сканави, Марк Иванович|Сканави М. И.]]
|заглавие=Элементарная математика. Повторительный курс |издание=Издание третье, стереотипное
|издательство=Наука |место=М. |год=1976 |страниц=591 |ref=Элементарная математика}}
{{Треугольник}}
[[Категория:Геометрия треугольника]]
[[Категория:Теоремы евклидовой геометрии|Сумме углов треугольника]]
| |||