Википедия

Постоянная Каталана: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории
[отпатрулированная версия][отпатрулированная версия]
← Предыдущая правкаСледующая правка →
Содержимое удалено Содержимое добавлено
ВизуальныйВики-текст
м →‎Преамбула: стилевые правки, оформление
м →‎Связь с другими функциями: пунктуация, оформление
Строка 21:
Постоянная Каталана является частным случаем [[бета-функция Дирихле|бета-функции Дирихле]]:
 
: <math> G = \beta(2) \; . </math>
 
Она также соответствует частному значению [[функция Клаузена|функции Клаузена]], которая связана с мнимой частью [[дилогарифм]]а
 
: <math> G = \mathrmoperatorname{Cl}_2(\pi/2) \; = \mathrmoperatorname{Im} \left( \mathrmoperatorname{Li}_2(e^{\mathrm{i}\pi/2}) \right) = \mathrmoperatorname{Im} \leftbig( \mathrmoperatorname{Li}_2({\mathrm{i}}) \rightbig)\; . </math>
 
Кроме этого, она связана со значениями [[тригамма-функция|тригамма-функции]] (частный случай [[полигамма-функция|полигамма-функции]]) дробных аргументов
 
: <math> \psi_{1}psi_1\left(\tfrac14\right) = \pi^2 + 8G \; ,</math>
 
: <math> \psi_{1}psi_1\left(\tfrac34\right) = \pi^2 - 8G \; ,</math>
 
так что
 
: <math> G = \tfrac{1}{16} \left[\psi_{1}psi_1\left(\tfrac14\right) - \psi_{1}psi_1\left(\tfrac34\right)\right] \; .</math>
 
{{iw|Плуфф, Симон|Симон Плуфф|en|Simon Plouffe}} нашёл бесконечное множество тождеств между тригамма-функцией <math>\psi_1</math>, <math>\pi^2</math> и постоянной Каталана ''G''.
Строка 42:
Постоянная Каталана также может быть выражена через частные значения [[G-функция Барнса|G-функции Барнса]] и [[гамма-функция|гамма-функции]]<!-- проверить! -->:
 
: <math>G = 4\pi \ln\left( \frac{ G(\tfrac{3}{8}) G(\tfrac{7}{8}) }{ G(\tfrac{1}{8}) G(\tfrac{5}{8}) } \right) + 4 \pi \ln \left( \frac{ \Gamma(\tfrac{3}{8}) }{ \Gamma(\tfrac{1}{8}) } \right) + \frac{\pi}{2} \ln \left( \frac{1 + \sqrt{2} }{2 \, (2 - \sqrt{2})} \right) .</math>
 
== Интегральные представления ==
Источник — https://ru.wikipedia.org/wiki/Постоянная_Каталана