Википедия

Предел вдоль фильтра: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории
(Показать все непатрулированные изменения)
[отпатрулированная версия][отпатрулированная версия]
← Предыдущая правкаСледующая правка →
Содержимое удалено Содержимое добавлено
ВизуальныйВики-текст
Метка: редактор вики-текста 2017
м викификация, уточнение неоднозначностей
Строка 1:
'''Предел вдоль фильтра''' ('''предел по базису фильтра, предел по базе''')  — обобщение понятия [[пределПредел (математика)|предела]]а.
 
== Определение фильтра ==
 
{{main|Фильтр (математика)}}
 
Строка 10 ⟶ 9 :
 
== Определение предела ==
Везде далее <math>\mathfrak B</math>  — базис фильтра (база) множества <math>X</math>.
 
=== Предел числовой функции ===
Пусть <math>f:X \to \mathbb{R}</math>. Число <math>A \in \mathbb{R}</math> называется пределом функции <math>f</math> по базе <math>\mathfrak{B},</math> если
Строка 17:
 
=== Предел функции со значениями в метрическом пространстве ===
Пусть <math>(M,\rho)</math>  — [[метрическое пространство]] и <math>f : X\to M</math>. Точка <math>a\in M</math> называется пределом функции <math>f</math> по базе <math>\mathfrak{B},</math> если
: для любого <math>\varepsilon > 0 </math> существует <math> B \in \mathfrak{B} </math> такое, что для всех <math>x \in B </math> выполнено неравенство <math>\rho(f(x),a) < \varepsilon.</math>
Обозначение: <math>\lim\limits_{\mathfrak{B}} f(x) = a.</math>
 
=== Предел функции со значениями в топологическом пространстве ===
Пусть <math>(M,\mathcal T)</math> - — [[топологическое пространство]] и <math>f\colon X\to M</math>. Точка <math>a\in M</math> называется пределом функции <math>f</math> по базе <math>\mathfrak{B},</math> если
: для любой [[Окрестность#.D0.9E.D0.B1.D1.89.D0.B0.D1.8F .D1.82.D0.BE.D0.BF.D0.BE.D0.BB.D0.BE.D0.B3.D0.B8.D1.8F|окрестности]] <math>V</math> точки <math>a</math> существует <math> B \in \mathfrak{B} </math> такое, что <math>f(B)\subset V</math>, то есть для всех <math>x \in B </math> выполняется включение <math>f(x)\in V</math>.
Обозначение: <math>\lim\limits_{\mathfrak{B}} f(x) = a.</math>
 
'''Замечание.''' Последнее "«равенство"» корректно использовать лишь в случаях, когда пространство <math>(M,\mathcal T)</math> - — [[хаусдорфово пространство|хаусдорфово]]. Пределом функции со значениями в нехаусдорфовом пространстве могут быть сразу несколько различных точек (и, таким образом, нарушается теорема о единственности предела).
 
== Примеры ==
 
=== Обычный предел ===
Пусть <math>(X,\mathcal{T})</math>  — [[топологическое пространство]], и <math>M \subset X.</math> Пусть <math>a \in M'.</math> Тогда система множеств
: <math>\mathfrak{B} = \left\{M\cap\dot{U} \equiv M\cap U \setminus\{a\} \mid a\in U\in\mathcal T \right\}</math>
является базисом фильтра множества <math>M</math> и обозначается <math>M\ni x \to a</math> или просто <math>x \to a.</math> Предел функции по базе <math>x \to a</math> множества <math>M</math> называется пределом функции в точке <math>a</math> и обозначается записью <math>\lim\limits_{x \to a}f(x)</math>.
 
=== Односторонние пределы ===
 
{{main|Односторонние пределы}}
 
Строка 59 ⟶ 58 :
 
=== Предел последовательности ===
 
{{main|Предел последовательности}}
 
Строка 77 ⟶ 75 :
 
== Литература ==
* ''Кудрявцев  Л.  Д.'' Курс математического анализа (в двух томах), — {{М.}}: Высшая школа, т. II — 584 с. — 1981.
 
[[Категория:Пределы]]
Источник — https://ru.wikipedia.org/wiki/Предел_вдоль_фильтра