Лемма Евклида: различия между версиями

'''Лемма Евклида''' — классический результат элементарной [[теория чисел|теории чисел]]. Она сформулирована как предложение 30 в книге VII [[Начала Евклида|«Начал»]] [[Евклид]]а и является ключевой для доказательства [[Основная теорема арифметики|основной теоремы арифметики]]. Современная формулировка{{sfn |Виноградов|1952|с=20}}:

{{теорема|Если произведение нескольких сомножителей делится на [[простое число]] <math>p</math>, делитто безпо остаткакрайней произведениемере двуходин целыхиз чиселсомножителей <math>x\cdotделится y</math>, тона <math>p</math> делит <math>x</math> или <math>y</math>.}}

Пусть <math>x\cdot y</math> делится на <math>p</math>, но <math>x</math> не делится на <math>p</math>. Тогда <math>x</math> и <math>p</math> — [[Взаимно простые числа|взаимно простые]], следовательно, найдутся целые числа <math>u</math> и <math>v</math> такие, что

Если <math>a</math> — [[делитель]] произведения <math>bc</math> и <math>a,b b</math> [[Взаимно простые числа|взаимно просты]], то<ref>{{книга|автор=[[Бухштаб, Александр Адольфович|Бухштаб А. А.]] |заглавие=Теория чисел |место=М.|издательство=Просвещение|год=1966|страницы=46 (теорема 41)|страниц=384}}</ref> math>a</math> — делитель <math>c</math>.