Теорема Ли: различия между версиями

*Теорема применимя к [[Присоединённое представление группы Ли|присоединенному представлению]] <math>\operatorname{ad}: \mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(\mathfrak{g})</math> (конечномерной) разрешимой алгебры ли <math>\mathfrak{g}</math>. Таким образом, можно выбрать базис в <math>\mathfrak{g}</math>, по отношению которого <math>\operatorname{ad}(\mathfrak{g})</math> состоит из верхних треугольных матриц.

**Из этого следует, что для любых <math>x, y \in \mathfrak{g}</math>, <math>\operatorname{ad}([x, y]) = [\operatorname{ad}(x), \operatorname{ad}(y)]</math> имеет нулевую диагональ; значит <math>\operatorname{ad}([x, y])</math> нильпотентен. По [[Теорема Энгеля|Энгеля теорема]], это означает, что <math>[\mathfrak g, \mathfrak g]</math> является нильпотентной алгеброй Ли; обратное утверждение очевидно верно. То есть, ''конечномерная алгебра Ли <math>\mathfrak g</math> над полем характеристики ноль разрешима, тогда и только тогда, когда производная алгебра <math>D \mathfrak g = [\mathfrak g, \mathfrak g]</math> нильпотентна.''

 

== Примечания ==