Фигурные числа: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
LGB (обсуждение | вклад) оформление |
LGB (обсуждение | вклад) мелкие дополнения |
||
Строка 55:
=== Исторический очерк ===
Фигурные числа, по мнению [[Пифагорейцы|пифагорейцев]], играют важную роль в структуре мироздания. Поэтому их изучением занимались многие видные математики античности: [[Эратосфен]], [[Гипсикл]], [[Диофант Александрийский]], [[Теон Смирнский]] и другие. Гипсикл (II век до н. э.) дал общее определение <math>k</math>-угольного числа <math>P^{(k)}_n</math> как суммы <math>n</math> членов [[Арифметическая прогрессия|арифметической прогрессии]], у которой первый член есть <math>1</math>, а разность равна <math>k-2</math>
{{начало цитаты}}
Если взять сколько-нибудь чисел, начиная с единицы, имеющих одинаковые разности, то сумма их, если разность единица, будет треугольником, если же двойка, то четырёхугольником, а если тройка — пятиугольником. Количество углов определяется разностью, увеличенной на двойку, а сторона — количеством взятых чисел, считая и единицу.
{{конец цитаты}}
В Новое время многоугольными числами занимались [[Ферма, Пьер|Ферма]], [[Валлис, Джон|Валлис]], [[Эйлер, Леонард|Эйлер]], [[Лагранж, Жозеф Луи|Лагранж]], [[Гаусс, Карл Фридрих|Гаусс]] и другие. В сентябре 1636 года{{sfn|Деза Е., Деза М.|2016|с=237|name=DD237}} Ферма сформулировал в письме [[Мерсенн, Марен|Мерсенну]] теорему, которая сегодня называется [[Теорема Ферма о многоугольных числах|теоремой Ферма о многоугольных числах]]<ref name=MATV/>:
Строка 69:
Вопреки обещанию, Ферма так и не опубликовал доказательство этой теоремы, которую в письме [[Паскаль, Блез|Паскалю]] (1654) назвал своим главным достижением в математике<ref name=DD237/>. Проблемой занимались многие выдающиеся математики — в 1770 году [[Лагранж, Жозеф Луи|Лагранж]] доказал теорему для квадратных чисел ([[теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов]]), в 1796 году [[Гаусс, Карл Фридрих|Гаусс]] дал доказательство для треугольных. Полное доказательство теоремы сумел дать [[Коши, Огюстен Луи|Коши]] в 1813 году<ref>{{книга |автор=Виленкин Н. Я. |заглавие=Популярная комбинаторика |ссылка=http://ilib.mccme.ru/djvu/combinatorika.htm |место=М. |издательство=Наука |год=1975 |страниц=208 |страницы=10—11 }}</ref>{{sfn |Деза Е., Деза М.|2016|с=10}}.
=== Типы классических многоугольных чисел ===
=== Треугольные числа ===▼
▲==== Треугольные числа ====
{{main|Треугольное число}}
:[[File:Polygonal Number 3.gif|500px|none]]
Строка 104 ⟶ 106 :
Треугольные числа образуют третью диагональную линию [[Треугольник Паскаля|треугольника Паскаля]]{{переход|#Треугольник Паскаля}}.
==== Квадратные числа ====
{{main|Квадратное число}}
Строка 125 ⟶ 127 :
Каждое квадратное число, кроме единицы, есть сумма двух последовательных треугольных чисел{{sfn |Деза Е., Деза М.|2016|с=19}}:
:: <math>n^2 = T_{n-1} + T_n</math>. Примеры: <math>4 = 1 + 3; \quad 9 = 3 + 6; \quad 16 = 6 + 10 </math> {{итд}}
Сумма квадратного числа с предшествующим ему по номеру треугольным числом даёт [[пятиугольное число]]:
: <math>n^2 + T_{n-1}= P^{(5)}_n</math>
Сумма квадратов первых <math>n</math> натуральных чисел вычисляется по формуле<ref>{{cite web |title=Некоторые конечные числовые ряды|url=http://www.math24.ru/%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D1%87%D0%BD%D1%8B%D0%B5-%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D1%8B%D0%B5-%D1%80%D1%8F%D0%B4%D1%8B.html|website=Math24.ru|accessdate=2019-06-14}}</ref>:
Строка 141 ⟶ 146 :
: <math>(1^2 + 4^2)(2^2 + 7^2) = 26^2 + 15^2 = 30^2 + 1^2.</math>
==== Пятиугольные числа ====
: [[Файл:Pentagonal number.gif|мини|right|150px]]
: 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590 …, <math display="inline">\frac{n(3n-1)}{2}</math> … ({{OEIS|A000326}})
Пятиугольные числа тесно связаны с треугольными{{sfn |Dickson|2005|p=2}}:
: <math>P^{(5)}_n = \frac{n(3n-1)}{2} = T_{n-1} + n^2 = T_n + 2T_{n-1} = T_{2n-1} - T_{n-1} = \frac{1}{3}T_{3n-1}</math>
Если в формуле <math display="inline">\frac{n(3n-1)}{2}</math> указать для <math>n</math> более общую последовательность:
Строка 154 ⟶ 162 :
Степени <math>x</math> в правой части тождества образуют последовательность обобщённых пятиугольных чисел<ref>{{публикация|статья|автор=Вайнштейн Ф. В. |ссылка=http://kvant.mccme.ru/1988/11/razbienie_chisel.htm |заглавие=Разбиение чисел.|издание=Журнал «Квант»|год=1988|номер=11}}</ref>.
==== Шестиугольные числа ====
{{main|Шестиугольное число}}
Строка 165 ⟶ 173 :
Натуральное число <math>N</math> является шестиугольным тогда и только тогда, когда число <math display="inline">\frac{\sqrt{8N+1}+1}{4}</math> является натуральным{{переход|#Определение, является ли заданное число многоугольным}}.
==== Двенадцатиугольные числа ====
Двенадцатиугольные числа вычисляются по формуле <math>5n^2-4n</math>:
: 1, 12, 33, 64, 105, 156, 217, 288, 369, 460, 561, 672, 793, 924, 1065, 1216, 1377, 1548, 1729, 1920 … ({{OEIS|A051624}})
Строка 173 ⟶ 181 :
'''Задача 1''' (задача Диофанта): дано натуральное число <math>N>2</math>. Определить, является ли оно многоугольным числом <math>P^{(k)}_n</math> и если да, то для каких <math>k</math> и <math>n</math>. Диофант сформулировал эту проблему так: «''выяснить, сколько раз данное число встречается среди всевозможных многоугольных чисел''»<ref name=DD37/>.
Решение задачи
: <math>N = P^{(k)}_n = \frac{(k-2)n^2 - (k-4)n}{2},</math> или: <math>2N - 2n = (k-2)(n^2 - n).</math>
Перепишем полученное уравнение в виде: <math>k-2 = \frac{2N-2}{n-1} - \frac{2N}{n}</math>
| |||