Динамические стохастические модели общего равновесия: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
MyWikiNik (обсуждение | вклад) Метка: редактор вики-текста 2017 |
Нет описания правки |
||
Строка 1:
'''Динамические стохастические модели общего равновесия (DSGE-модели''', {{lang-en| Dynamic Stochastic General Equilibrium}})
Теоретическим фундаментом классических DSGE-моделей являлась теория [[реальный деловой цикл
DSGE-модели обычно сложно решить аналитически и оценивать эконометрически, как по причине нелинейных уравнений, так и по причине наличия в них операторов условного математического ожидания будущих значений эндогенных переменных. Нелинейность обычно обходят путем лог-линеаризации уравнений в окрестности стационарного состояния. Для решения проблем оценки моделей с рациональными ожиданиями разработаны различные подходы
Строка 8:
== Пример DSGE-модели ==
Эндогенные уравнения:
: <math>\mathbb{E}_tc_{t+1}-c_t=r_t-\mathbb{E}_t\pi_{t+1}-\rho \Delta a_t</math>
: <math>\pi_t=b\mathbb{E}_t\pi_{t+1}+\kappa c_t+\varepsilon_t</math>
: <math>r_t=\lambda r_{t-1}+(1-\lambda)\phi_{\pi}\pi_t+(1-\lambda)\phi_c c_t+u_t</math>
здесь эндогенные переменные <math>c_t, r_t, \pi_t</math>
Экзогенные переменные: <math>\Delta a_t, u_t, \varepsilon_t</math>
== Моделирование поведения потребителя ==
Задача потребителя ([[репрезентативный агент
▲Задача потребителя ([[репрезентативный агент |репрезентативного домохозяйства]]) решается в два этапа.
▲=== Первый этап - оптимизация состава потребительской корзины ===
Предполагается, что в экономике имеется континуум дифференцированных товаров. Потребление <math>j</math>-го товара, где <math>j \in [0,1]</math>, в момент времени <math>t</math> обозначим <math>C_t(j)</math>. Композитное потребление (потребление композитного товара) <math>C_t</math> в момент времени <math>t</math> моделируется посредством функции с постоянной эластичностью замещения (CES) :<math>C_t=\biggl[ \int^1_0C^{\epsilon-1 \over \epsilon}_t(j)dj \biggr]^{\epsilon \over \epsilon -1}</math>. Если обозначить <math>P_t(j)</math> цену <math>j</math>-го товара в момент времени <math>t</math>, то затраты потребителя составят :<math>\int^1_0 P_t(j) C_t(j)di</math>. Домохозяйство максимизирует композитное потребление при заданной величине затрат. Можно показать, что решение этой задачи максимизации имеет вид:
: <math>C_t(j)=\biggl( {P_t(j) \over P_t} \biggr)^{-\epsilon} C_t</math>, где <math>P_t=\biggl[ \int^1_0P_t(j)^{1-\epsilon}dj \biggr]^{1 \over 1-\epsilon}</math>
Несложно показать, что затраты потребителя выражаются через композитное потребление и общий уровень цен естественным образом <math>P_t C_t</math>, соответственно, спрос на композитный товар равен отношению расходов на общий уровень цен. Таким образом, спрос на конкретный товар зависит от
=== Второй этап
Поведение [[репрезентативный агент
: <math>\underset{C_t,L_t}{\max} \mathbb{E}_0 \sum^{\infty}_{t=0} {\beta}^t U(C_t,L_t)</math>▼
▲Поведение [[репрезентативный агент |репрезентативного домохозяйства]] моделируется как задача максимизации ожидаемой ([[математическое ожидание]]) дисконтированной полезности потребления с учетом трудозатрат (затрат свободного времени):
Здесь <math>\mathbb{E}_0</math>
▲:<math>\underset{C_t,L_t}{\max} \mathbb{E}_0 \sum^{\infty}_{t=0} {\beta}^t U(C_t,L_t)</math>
Функция <math>U(C_t,L_t)</math>
▲Здесь <math>\mathbb{E}_0</math> - оператор рационального ожидания (математического ожидания при условии доступной в данный момент времени информации), а <math>\beta \in (0,1)</math> - фактор дисконтирования.
▲Функция <math>U(C_t,L_t)</math> - моментальная функция полезности композитного потребления с учетом трудозатрат <math>L_t</math> (затрат "свободного времени").
Межвременное бюджетное ограничение может иметь различный вид. Например, оно может быть сформулировано в виде:
Строка 43 ⟶ 39 :
<math>P_tC_t+B_t = (1+i_t)B_{t-1}+W_tL_t+D_t </math>
где <math>B_t</math>
Также применяется условие отсутствия игр Понци в виде <math>\lim_{T \infty} B_{t+T}>=0</math>
==== Решение задачи межвременной оптимизации ====
Решение такой задачи (методом множителей Лагранжа) в общем случае имеет вид двух уравнений:
: <math>W_t/P_t=-U'_{L,t}/U'_{C,t}</math>
: <math>\beta \mathbb{E}_t \biggl( U'_{C,t+1} {1+i_t \over P_{t+1}}\biggr) = U'_{C,t}/P_t</math>
На практике часто моментальная функция полезности <math>U(C_t,L_t)</math> моделируется следующим образом:
: <math>U(C_t)={C^{1-\sigma}_t \over 1-\sigma} - \gamma {L^{1+\phi}_t \over 1+\phi}</math>
где <math>\sigma </math>
В этом случае вышеуказанное решение принимает вид:
: <math>W_t/P_t=\gamma C^{\sigma}_tL^{\phi}_t </math> или в логарифмах <math>w_t-p_t=\gamma +\sigma c_t+\phi l_t</math>
: <math>\beta (1+i_t)\mathbb{E}_t \biggl( C^{\sigma}_{t+1}{P_t \over P_{t+1}}\biggr) = C^{-\sigma}_t</math> или в логарифмах: <math>c_t=\mathbb{E}_tc_{t+1}-{1 \over \sigma}(i_t-\mathbb{E}_t\pi_{t+1}-\rho)</math>
Проблемы нахождения решений DSGE-моделей заключаются в первую очередь в наличии таких уравнений, содержащих ожидаемые значения переменных.
== Моделирование поведения фирмы ==
Поведение [[репрезентативный агент
▲Поведение [[репрезентативный агент |репрезентативной фирмы]] может моделироваться как стандартная задача максимизации прибыли в каждом периоде или задача максимизации стоимости фирмы. При стандартном неоклассическом моделировании фирм на совершенно конкурентных рынках решение задачи фирмы приводит к стандартным результатам для совершенной конкуренции: равенству реальных зарплат и процентной ставки предельным продуктам соответственно труда и капитала.
Рассмотрим иной вариант моделирования.
=== Моделирование производства ===
В простейшем случае в экономике имеется континуум идентичных фирм, производящих дифференцированные товары по единой технологии. Производственная функция i-ой фирмы может моделироваться как линейная функция объема используемого труда <math>Y_t(i)=A_tL_t(i)</math>, где <math>A_t</math>
▲В простейшем случае в экономике имеется континуум идентичных фирм, производящих дифференцированные товары по единой технологии. Производственная функция i-ой фирмы может моделироваться как линейная функция объема используемого труда <math>Y_t(i)=A_tL_t(i)</math>, где <math>A_t</math> - обозначает уровень технологии, <math>L_t(i)</math> - объем используемого данной фирмой труда. Соответственно, агрегирование по экономике дает следующую производственную функцию:
<math>Y_t=\int^1_0Y_t(i)di=A_tL_t</math> или в логарифмах: <math>y_t=a_t+l_t</math>
Строка 85 ⟶ 78 :
В рамках данного примера в экономике отсутствуют инвестиции и капитала, поэтому выполнено равенство <math>y_t=c_t</math>
===
Уравнение межвременной оптимизации потребления можно применить к задаче приобретения домохозяйством финансового актива, приносящего дивидендный доход (акции фирмы). Если через <math>k</math> периодов после приобретения акции она принесет дивиденд <math>D_{t+k}</math>, то реальная цена актива будет равна
: <math> \mathbb{E}_t \biggl( {\beta^k U'_{C,t+k} \over U'_{C,t}} {D_{t+k} \over P_{t+k}}\biggr)=\mathbb{E}_t \biggl( \Lambda^k_t {D_{t+k} \over P_{t+k}}\biggr) </math>,
где введено обозначение <math>\Lambda^k_t={\beta^k U'_{C,t+k} \over U'_{C,t}}</math>
Соответственно, стоимость фирмы будет равна <math> \mathbb{E}_t \biggl( \sum^{\infty}_{k=0} \Lambda^k_t {D_{t+k} \over P_{t+k}}\biggr) </math>
=== Условие жесткости цен ===
Один из способов моделирования жесткости цен (так называемый метод Кальво или жесткость цен по Кальво) заключается в предположении, что отдельная фирма в данном периоде не изменит цену с некоторой экзогенно заданной вероятностью <math>q \in [0,1]</math>, называемой индексом или степенью жесткости цен. Поскольку в экономике предполагается континуум фирм, то степень жесткости определяет фактически долю фирм, которые не изменят цены (то есть оставят их на уровне прошлого периода), а <math>1-q</math>
▲Один из способов моделирования жесткости цен (так называемый метод Кальво или жесткость цен по Кальво) заключается в предположении, что отдельная фирма в данном периоде не изменит цену с некоторой экзогенно заданной вероятностью <math>q \in [0,1]</math>, называемой индексом или степенью жесткости цен. Поскольку в экономике предполагается континуум фирм, то степень жесткости определяет фактически долю фирм, которые не изменят цены (то есть оставят их на уровне прошлого периода), а <math>1-q</math> - доля фирм, которые могут изменить цену и установить на некотором одинаковом уровне.
В таком случае общий уровень цен в экономике будет равен
Строка 109 ⟶ 100 :
Жесткость цен влияет на задачу фирмы. Если фирма в текущем периоде может изменить цену, то она будет решать задачу оптимизации с учетом в том числе и вероятности того, что в будущем она не сможет пересмотреть цены (если она в будущем пересмотрит цену, то она оптимизирует ее на тот момент и эта оптимизационная задача не будет зависеть от текущего выбора цены). Поэтому фирма принимает решение в данный момент времени <math>t</math> взвешивая каждое <math>k</math>-е слагаемое в формуле определения стоимости фирмы на вероятность того, что в течение <math>k</math> периодов она не изменит цены. Эта вероятность равна <math>q^k</math>, поэтому фактически фирма должна максимизировать величину:
: <math> \mathbb{E}_t \biggl( \sum^{\infty}_{k=0} q^k \Lambda^k_t {D_{t+k} \over P_{t+k}}\biggr) </math>
Если предположить, что размер дивидендов совпадает с прибылью фирмы, то задача фирмы формулируется как задача максимизации ожидаемой дисконтированной прибыли в предположении, что в будущем цена, формирующая прибыль будет равна устанавливаемой на данный момент:
<math>\underset{P^*_t}{\max} \mathbb{E}_t \biggl( \sum^{\infty}_{k=0} q^k\Lambda^k_t {P^*_t Y_{t+k|t} -TC(Y_{t+k|t}) \over P_{t+k}}\biggr) </math>,
Очевидно, условие оптимальности имеет вид
Строка 124 ⟶ 115 :
=== Новокейнсианская кривая Филипса ===
Из линейной производственной функции следует, что <math>L_t=Y_t/A_t</math>, следовательно затраты производства, состоящие из оплаты труда равны <math>W_tL_t=W_tY_t/A_t</math>, соответственно предельные издержки <math>MC=W_t /A_t</math>, а в логарифмах <math>mc_t=w_t-a_t</math>. Таким образом, логарифмическая наценка равна
Строка 141 ⟶ 131 :
<math>\pi_t=\beta \mathbb{E_t}\pi_{t+1}+\kappa (y_t-y^*_t)</math>, где <math>\kappa=\lambda (\sigma+\phi)</math>
▲[[Категория: Макроэкономика]]
|