Динамические стохастические модели общего равновесия: различия между версиями

Нет описания правки
Метка: редактор вики-текста 2017
'''Динамические стохастические модели общего равновесия (DSGE-модели''', {{lang-en| Dynamic Stochastic General Equilibrium}}) - — современные макроэкономические модели, параметры которых основаны на моделировании поведения экономических агентов на микроуровне (в частности, поведение домохозяйств моделируется как решение задачи стохастической динамической оптимизации), предусматривающие также моделирование различных стохастических "«шоков"» (технологических, монетарных, ценовых и др.).
 
Теоретическим фундаментом классических DSGE-моделей являлась теория [[реальный деловой цикл |реального делового цикла]] (RBC) и они разрабатывались в рамках [[новая классическая макроэкономика |новой классической теории]], основанной на совершенно конкурентных рынках, гибких ценах, рациональных ожиданиях экономических агентов. В дальнейшем эти модели получили развитие в рамках [[новая кейнсианская теория |новой кейнсианской теории]], учитывающей рынки монополистической конкуренции, жесткость цен и номинальных заработных плат.
 
DSGE-модели обычно сложно решить аналитически и оценивать эконометрически, как по причине нелинейных уравнений, так и по причине наличия в них операторов условного математического ожидания будущих значений эндогенных переменных. Нелинейность обычно обходят путем лог-линеаризации уравнений в окрестности стационарного состояния. Для решения проблем оценки моделей с рациональными ожиданиями разработаны различные подходы
 
== Пример DSGE-модели ==
 
Эндогенные уравнения:
: <math>\mathbb{E}_tc_{t+1}-c_t=r_t-\mathbb{E}_t\pi_{t+1}-\rho \Delta a_t</math> - — линеаризованное уравнение Эйлера (условие первого порядка задачи потребителя)
: <math>\pi_t=b\mathbb{E}_t\pi_{t+1}+\kappa c_t+\varepsilon_t</math> - — новокейнсианская кривая Филлипса
: <math>r_t=\lambda r_{t-1}+(1-\lambda)\phi_{\pi}\pi_t+(1-\lambda)\phi_c c_t+u_t</math> - — монетарное правило Тейлора
 
здесь эндогенные переменные <math>c_t, r_t, \pi_t</math> - — логарифмы соответственно потребления (выпуска), процентной ставки и инфляции в момент времени t, <math>\mathbb{E}_t</math> - — оператор рационального ожидания (условное математическое ожидание с учетом всей доступной на момент времени t информации).
Экзогенные переменные: <math>\Delta a_t, u_t, \varepsilon_t</math> - — это так называемые "«шоки"», соответственно технологический шок, монетарный шок и шок потребления. Технологический и монетарный шоки моделируются обычно как [[авторегрессионная модель |авторегрессионные процессы]] первого порядка, шок потребления - — как [[белый шум]]. Шок потребления и случайные ошибки авторегрессионных моделей для технологического и монетарного шоков предполагаются независимыми, нормально распределенными случайными величинами с нулевым математическим ожиданием.
 
== Моделирование поведения потребителя ==
Задача потребителя ([[репрезентативный агент |репрезентативного домохозяйства]]) решается в два этапа.
 
=== Первый этап - — оптимизация состава потребительской корзины ===
Задача потребителя ([[репрезентативный агент |репрезентативного домохозяйства]]) решается в два этапа.
 
=== Первый этап - оптимизация состава потребительской корзины ===
 
Предполагается, что в экономике имеется континуум дифференцированных товаров. Потребление <math>j</math>-го товара, где <math>j \in [0,1]</math>, в момент времени <math>t</math> обозначим <math>C_t(j)</math>. Композитное потребление (потребление композитного товара) <math>C_t</math> в момент времени <math>t</math> моделируется посредством функции с постоянной эластичностью замещения (CES) :<math>C_t=\biggl[ \int^1_0C^{\epsilon-1 \over \epsilon}_t(j)dj \biggr]^{\epsilon \over \epsilon -1}</math>. Если обозначить <math>P_t(j)</math> цену <math>j</math>-го товара в момент времени <math>t</math>, то затраты потребителя составят :<math>\int^1_0 P_t(j) C_t(j)di</math>. Домохозяйство максимизирует композитное потребление при заданной величине затрат. Можно показать, что решение этой задачи максимизации имеет вид:
 
: <math>C_t(j)=\biggl( {P_t(j) \over P_t} \biggr)^{-\epsilon} C_t</math>, где <math>P_t=\biggl[ \int^1_0P_t(j)^{1-\epsilon}dj \biggr]^{1 \over 1-\epsilon}</math> - — общий уровень цен в экономике.
 
Несложно показать, что затраты потребителя выражаются через композитное потребление и общий уровень цен естественным образом <math>P_t C_t</math>, соответственно, спрос на композитный товар равен отношению расходов на общий уровень цен. Таким образом, спрос на конкретный товар зависит от "«реальной"» цены товара (отношение номинальной цены товара к общему уровню цен) и "«реальной"» величины расходов (отношение номинальных расходов к общему уровню цен).
 
=== Второй этап - — межвременная оптимизация ожидаемой полезности ===
Поведение [[репрезентативный агент |репрезентативного домохозяйства]] моделируется как задача максимизации ожидаемой ([[математическое ожидание]]) дисконтированной полезности потребления с учетом трудозатрат (затрат свободного времени):
 
: <math>\underset{C_t,L_t}{\max} \mathbb{E}_0 \sum^{\infty}_{t=0} {\beta}^t U(C_t,L_t)</math>
Поведение [[репрезентативный агент |репрезентативного домохозяйства]] моделируется как задача максимизации ожидаемой ([[математическое ожидание]]) дисконтированной полезности потребления с учетом трудозатрат (затрат свободного времени):
 
Здесь <math>\mathbb{E}_0</math> - — оператор рационального ожидания (математического ожидания при условии доступной в данный момент времени информации), а <math>\beta \in (0,1)</math> - — фактор дисконтирования.
:<math>\underset{C_t,L_t}{\max} \mathbb{E}_0 \sum^{\infty}_{t=0} {\beta}^t U(C_t,L_t)</math>
 
Функция <math>U(C_t,L_t)</math> - — моментальная функция полезности композитного потребления с учетом трудозатрат <math>L_t</math> (затрат "«свободного времени"»).
Здесь <math>\mathbb{E}_0</math> - оператор рационального ожидания (математического ожидания при условии доступной в данный момент времени информации), а <math>\beta \in (0,1)</math> - фактор дисконтирования.
 
Функция <math>U(C_t,L_t)</math> - моментальная функция полезности композитного потребления с учетом трудозатрат <math>L_t</math> (затрат "свободного времени").
 
Межвременное бюджетное ограничение может иметь различный вид. Например, оно может быть сформулировано в виде:
<math>P_tC_t+B_t = (1+i_t)B_{t-1}+W_tL_t+D_t </math>
 
где <math>B_t</math> - — объем приобретенных однопериодных облигаций, <math>i_t</math> - — номинальная ставка процента (доходность облигаций), <math>W_t </math> - — номинальная заработная плата за единицу <math>L_t </math>, а <math>D_t</math> - — это дивиденды по акциям фирм.
 
Также применяется условие отсутствия игр Понци в виде <math>\lim_{T \infty} B_{t+T}>=0</math>
 
==== Решение задачи межвременной оптимизации ====
 
Решение такой задачи (методом множителей Лагранжа) в общем случае имеет вид двух уравнений:
 
: <math>W_t/P_t=-U'_{L,t}/U'_{C,t}</math> - — условие выбора между потреблением и трудом/досугом (функция предложения труда)
 
: <math>\beta \mathbb{E}_t \biggl( U'_{C,t+1} {1+i_t \over P_{t+1}}\biggr) = U'_{C,t}/P_t</math> - — межвременной выбор между потреблением в текущем и следующем периоде (уравнение Эйлера)
 
На практике часто моментальная функция полезности <math>U(C_t,L_t)</math> моделируется следующим образом:
 
: <math>U(C_t)={C^{1-\sigma}_t \over 1-\sigma} - \gamma {L^{1+\phi}_t \over 1+\phi}</math>
 
где <math>\sigma </math> - — коэффициент неприятия риска Эрроу-Пратта (случай <math>\sigma=1</math> соответствует логарифму композитного потребления), <math>\gamma \in (0,1)</math>- параметр масштаба , связанный с размерностью <math>L_t</math>, <math>\phi \geq 0</math> - — параметр, который в оптимальном решении равен величине, обратной эластичности предложения труда (<math>L_t</math>) по реальной заработной плате.
 
В этом случае вышеуказанное решение принимает вид:
: <math>W_t/P_t=\gamma C^{\sigma}_tL^{\phi}_t </math> или в логарифмах <math>w_t-p_t=\gamma +\sigma c_t+\phi l_t</math>
: <math>\beta (1+i_t)\mathbb{E}_t \biggl( C^{\sigma}_{t+1}{P_t \over P_{t+1}}\biggr) = C^{-\sigma}_t</math> или в логарифмах: <math>c_t=\mathbb{E}_tc_{t+1}-{1 \over \sigma}(i_t-\mathbb{E}_t\pi_{t+1}-\rho)</math>
 
Проблемы нахождения решений DSGE-моделей заключаются в первую очередь в наличии таких уравнений, содержащих ожидаемые значения переменных.
 
== Моделирование поведения фирмы ==
Поведение [[репрезентативный агент |репрезентативной фирмы]] может моделироваться как стандартная задача максимизации прибыли в каждом периоде или задача максимизации стоимости фирмы. При стандартном неоклассическом моделировании фирм на совершенно конкурентных рынках решение задачи фирмы приводит к стандартным результатам для совершенной конкуренции: равенству реальных зарплат и процентной ставки предельным продуктам соответственно труда и капитала.
 
Поведение [[репрезентативный агент |репрезентативной фирмы]] может моделироваться как стандартная задача максимизации прибыли в каждом периоде или задача максимизации стоимости фирмы. При стандартном неоклассическом моделировании фирм на совершенно конкурентных рынках решение задачи фирмы приводит к стандартным результатам для совершенной конкуренции: равенству реальных зарплат и процентной ставки предельным продуктам соответственно труда и капитала.
 
Рассмотрим иной вариант моделирования.
 
=== Моделирование производства ===
В простейшем случае в экономике имеется континуум идентичных фирм, производящих дифференцированные товары по единой технологии. Производственная функция i-ой фирмы может моделироваться как линейная функция объема используемого труда <math>Y_t(i)=A_tL_t(i)</math>, где <math>A_t</math> - — обозначает уровень технологии, <math>L_t(i)</math> - — объем используемого данной фирмой труда. Соответственно, агрегирование по экономике дает следующую производственную функцию:
 
В простейшем случае в экономике имеется континуум идентичных фирм, производящих дифференцированные товары по единой технологии. Производственная функция i-ой фирмы может моделироваться как линейная функция объема используемого труда <math>Y_t(i)=A_tL_t(i)</math>, где <math>A_t</math> - обозначает уровень технологии, <math>L_t(i)</math> - объем используемого данной фирмой труда. Соответственно, агрегирование по экономике дает следующую производственную функцию:
 
<math>Y_t=\int^1_0Y_t(i)di=A_tL_t</math> или в логарифмах: <math>y_t=a_t+l_t</math>
В рамках данного примера в экономике отсутствуют инвестиции и капитала, поэтому выполнено равенство <math>y_t=c_t</math>
 
=== Стоимость фирмы ===
 
Уравнение межвременной оптимизации потребления можно применить к задаче приобретения домохозяйством финансового актива, приносящего дивидендный доход (акции фирмы). Если через <math>k</math> периодов после приобретения акции она принесет дивиденд <math>D_{t+k}</math>, то реальная цена актива будет равна
 
: <math> \mathbb{E}_t \biggl( {\beta^k U'_{C,t+k} \over U'_{C,t}} {D_{t+k} \over P_{t+k}}\biggr)=\mathbb{E}_t \biggl( \Lambda^k_t {D_{t+k} \over P_{t+k}}\biggr) </math>,
 
где введено обозначение <math>\Lambda^k_t={\beta^k U'_{C,t+k} \over U'_{C,t}}</math> - — стохастический дисконтирующий множитель для периода от t до t+k.
 
Соответственно, стоимость фирмы будет равна <math> \mathbb{E}_t \biggl( \sum^{\infty}_{k=0} \Lambda^k_t {D_{t+k} \over P_{t+k}}\biggr) </math>
 
=== Условие жесткости цен ===
Один из способов моделирования жесткости цен (так называемый метод Кальво или жесткость цен по Кальво) заключается в предположении, что отдельная фирма в данном периоде не изменит цену с некоторой экзогенно заданной вероятностью <math>q \in [0,1]</math>, называемой индексом или степенью жесткости цен. Поскольку в экономике предполагается континуум фирм, то степень жесткости определяет фактически долю фирм, которые не изменят цены (то есть оставят их на уровне прошлого периода), а <math>1-q</math> - — доля фирм, которые могут изменить цену и установить на некотором одинаковом уровне.
 
Один из способов моделирования жесткости цен (так называемый метод Кальво или жесткость цен по Кальво) заключается в предположении, что отдельная фирма в данном периоде не изменит цену с некоторой экзогенно заданной вероятностью <math>q \in [0,1]</math>, называемой индексом или степенью жесткости цен. Поскольку в экономике предполагается континуум фирм, то степень жесткости определяет фактически долю фирм, которые не изменят цены (то есть оставят их на уровне прошлого периода), а <math>1-q</math> - доля фирм, которые могут изменить цену и установить на некотором одинаковом уровне.
 
В таком случае общий уровень цен в экономике будет равен
Жесткость цен влияет на задачу фирмы. Если фирма в текущем периоде может изменить цену, то она будет решать задачу оптимизации с учетом в том числе и вероятности того, что в будущем она не сможет пересмотреть цены (если она в будущем пересмотрит цену, то она оптимизирует ее на тот момент и эта оптимизационная задача не будет зависеть от текущего выбора цены). Поэтому фирма принимает решение в данный момент времени <math>t</math> взвешивая каждое <math>k</math>-е слагаемое в формуле определения стоимости фирмы на вероятность того, что в течение <math>k</math> периодов она не изменит цены. Эта вероятность равна <math>q^k</math>, поэтому фактически фирма должна максимизировать величину:
 
: <math> \mathbb{E}_t \biggl( \sum^{\infty}_{k=0} q^k \Lambda^k_t {D_{t+k} \over P_{t+k}}\biggr) </math>
 
Если предположить, что размер дивидендов совпадает с прибылью фирмы, то задача фирмы формулируется как задача максимизации ожидаемой дисконтированной прибыли в предположении, что в будущем цена, формирующая прибыль будет равна устанавливаемой на данный момент:
 
<math>\underset{P^*_t}{\max} \mathbb{E}_t \biggl( \sum^{\infty}_{k=0} q^k\Lambda^k_t {P^*_t Y_{t+k|t} -TC(Y_{t+k|t}) \over P_{t+k}}\biggr) </math>, где <math>TC(Y_{t+k|t})</math> - — функция совокупных издержек фирмы, а <math>Y_{t+k|t}</math> - — объем выпуска фирмы в момент <math>t+k</math> по цене, установленной на момент <math>t</math>, равный <math>Y_{t+k|t}=\biggl( {P^*_t \over P_{t+k}} \biggr)^{-\epsilon}C_{t+k}</math>
 
Очевидно, условие оптимальности имеет вид
 
=== Новокейнсианская кривая Филипса ===
 
Из линейной производственной функции следует, что <math>L_t=Y_t/A_t</math>, следовательно затраты производства, состоящие из оплаты труда равны <math>W_tL_t=W_tY_t/A_t</math>, соответственно предельные издержки <math>MC=W_t /A_t</math>, а в логарифмах <math>mc_t=w_t-a_t</math>. Таким образом, логарифмическая наценка равна
 
<math>\pi_t=\beta \mathbb{E_t}\pi_{t+1}+\kappa (y_t-y^*_t)</math>, где <math>\kappa=\lambda (\sigma+\phi)</math>
 
[[Категория: Макроэкономика]]
 
 
 
 
 
 
[[Категория: Макроэкономика]]
Анонимный участник