|
'''Решётка''', ''структура'' — [[частичный порядок|частично упорядоченное]] [[множество]], в котором каждое двухэлементное подмножество имеет как точную верхнюю (sup), так и точную нижнюю (inf) грани. Отсюда вытекает существование этих граней для любых непустых конечных подмножеств.
== Примеры ==
# множество всех подмножеств данного множества, упорядоченное по включению;
# всякое линейно упорядоченное множество; причемпричём если a ≤ b, то sup{a, b} = b, inf{a, b} = a;
# множество всех надпространствподпространств векторного пространства, упорядоченных по включению, где inf — пересечение, а sup — сумма соответствующих надпространствподпространств;
# множество всех неотрицательных целых чисел, упорядоченных по делимости: a ≤ b, если b = ac для некоторого c. Здесь sup — наименьшее общее кратное, а inf — наибольший общий делитель данных чисел;
# действительные [[Функция (математика)|функции]], определенныеопределённые на отрезке [0, 1], упорядоченные условием ''f'' ≤ ''g'', если f(t) ≤ g(t) для всех t <span style='font-family:
Symbol'>Î</span> [0, 1]. Здесь
и обратно. При этом для любых элементов ''a'' и ''b'' эквивалентны следующие утверждения: (а) ''a'' ≤ ''b''; (б) ''ab'' = ''a''; (в) ''a'' + ''b'' = ''b''.
Понятия изоморфизма решетокрешёток как универсальных алгебр и как частично упорядоченных множеств совпадают. Однако произвольное [[изотонное отображение]] решеткирешётки ''R'' в решеткурешётку ''R''' не обязано быть гомоморфизмом этих решетокрешёток как универсальных алгебр.
== Связанные определения ==
* '''[[Подрешётка]]''' ― подмножество элементов решеткирешётки, замкнутое относительно операций <math>+</math> и <math>\cdot</math>
== История ==
Появление понятия «решётка» относится к середине XIX века. ЧеткоЧётко его сформулировал [[Дедекинд, Рихард|Р. Дедекинд]] в работах [[1894]] и [[1897]] годов. Термин «lattice», переведенныйпереведённый как «структура» был введенвведён [[Биркхоф, Джордж Дэвид|Биркгоф]]ом в [[1933]] году. В настоящее время в русской терминологии (из-за многозначности слова «структура») он вытеснен переводом «решётка». Исторически роль теории решёток объясняется тем, что многие факты, касающиеся множества [[Идеал_(алгебра)|идеал]]ов [[Кольцо (алгебра)|кольца]] и множества [[нормальная подгруппа|нормальных подгрупп]] [[группа (математика)|группы]], выглядят аналогично и могут быть доказаны в рамках теории [[дедекиндова решётка|дедекиндовых решёток]]. Как самостоятельное направление алгебры эта теория сформировалась в 30-х годах XX века. Наиболее важные классы решёток, кроме дедекиндовых, — это [[полная решётка|полные решётки]], [[дистрибутивная решётка|дистрибутивные решётки]] и [[булева алгебра|булевы алгебры]].
== См. также ==
== Ссылки ==
Доступные бесплатно в интернете монографии:
* ''Burris, Stanley N., and H.P. Sankappanavar, H. P., 1981.'' A Course in Universal Algebra. — Springer-Verlag, 1981. ISBN 3-540-90578-2.
* ''Peter Jipsen, Peter, and Henry Rose,'' Varieties of Lattices, — Lecture Notes in Mathematics 1533, Springer Verlag, 1992. ISBN 0-387-56314-8.
Элементарные тексты для обладающих малой математической культурой:
* Donnellan, ''Thomas, 1968.Donnellan'' Lattice Theory. — Pergamon, 1968.
* Grätzer, ''G., 1971.Grätzer'' Lattice Theory: First concepts and distributive lattices. — W. H. Freeman, 1971.
Обычные введения в предмет, несколько более сложные, чем указанный выше:
* Davey, ''B.A. Davey, and H. A. Priestley, 2002.'' Introduction to Lattices and Order. — Cambridge University Press, 2002.
Продвинутые монографии:
* ''Garrett Birkhoff, 1967.'' Lattice Theory,. — 3rd ed. Vol. 25 of AMS Colloquium Publications. American Mathematical Society, 1967.
* ''Robert P. Dilworth and Crawley, Peter, 1973.Crawley'' Algebraic Theory of Lattices. — Prentice-Hall, 1973. ISBN 9780130222695.
О свободных решётках:
* ''R. Freese, J. Jezek, and J. B. Nation, 1985.'' «Free Lattices». — Mathematical Surveys and Monographs Vol. 42. Mathematical Association of America, 1985.
* Johnstone, ''P.T., 1982.Johnstone'' Stone spaces. — Cambridge Studies in Advanced Mathematics 3. Cambridge University Press, 1982.
== Литература ==
* ''Биркгоф Г., '' Теория структур,''. — пер. с англ., {{М.}}, 1952;
* ''Скорняков Л. А., '' Элементы теории структур,''. — {{М.}}, 1970;
* ''Житомирский Г. И.,'' в сб.сборнике: ''Упорядоченные множества и решетки,''. — в. 7, Саратов, 1981;
* ''Гретцер Г., '' Общая теория решеток,''. — пер. с англ., {{М..}}, 1982.
[[Категория:Теория решёток]]
| 