Участник:Jumpow/Песочница: различия между версиями

23 826 байт убрано ,  4 месяца назад
Нет описания правки
[[Файл:Weights 20mg~500g.jpg|thumb|right|[[Масса]] measured в [[грамм]]ах is a function from this collection of weight to [[Знак (математика)|положительным]] real numbers. Термин «[[весовая функция]]», an allusion to this example, is used in pure and applied mathematics.]]
{{DISPLAYTITLE:(''ε'', ''δ'')-определение предела}}
'''Вещественнозначная функция''' is a [[Функция (математика)|функция]] whose [[Область значений функции|значениями]] are [[Вещественное число|вещественными числами]]. Другими словами, это функция, которая назначает вещественное число каждому члену [[Область определения функции|области определения]] функции.
[[Файл:Límite 01.svg|thumb|right|Whenever a point ''x'' is within <math>\delta</math> units of ''c'', ''f''(''x'') is within <math>\varepsilon</math> units of ''L'']]
 
Вещественнозначные {{не переведено 5|Функция вещественной переменной|функции вещественной переменной||function of a real variable}} (обычно называемые ''вещественными функциями'') и вещественнозначные {{не переведено 5|функции нескольких вещественных переменных|||functions of several real variables}} are the main object of study of [[Математический анализ|математического анализа]] и, более конкретно, [[Теория функций вещественной переменной|теории функций вещественной переменной]]. В частности, многие {{не переведено 5|Функциональное пространство|функциональные пространства||Function space}} состоят из вещественнозначных функций.
Определение предела в терминах <math>\varepsilon</math> и <math>\delta</math> («[[эпсилон]]–[[дельта (буква)|дельта]]-определение предела») — это формализация понятия [[Предел функции|предела]]. Концепция принадлежит [[Коши, Огюстен Луи|Огюстену Луи Коши]], который никогда не давал формальное определение пределе в терминах<math>\varepsilon</math> и <math>\delta</math> в своём труде ''{{не переведено 5|Cours d'Analyse|||Cours d'Analyse}}'', использовал время от времени <math>\varepsilon</math> и <math>\delta</math> в доказательствах. Первым дал формальное определение [[Больцано, Бернард|Бернард Больцано]] в 1817 году, а современную формулировку в конечном счёте дал [[Вейерштрасс, Карл|Карл Вейерштрасс]]{{sfn|Grabiner|1983|с=185–194}}{{sfn|Cauchy|1823}}. Он дал точную формулировку следующему неформальному определению: зависимое выражение <math>f(x)</math> стремится к значению {{mvar|L}} при стремлении переменной {{mvar|x}} к значению {{mvar|c}}, если значение <math>f(x)</math> может быть как угодно близко к значению {{mvar|L}} путём выбора {{mvar|x}} достаточно близко к {{mvar|c}}.
 
== Алгебраическая структура ==
== История ==
Let <math>{\mathcal F}(X,{\mathbb R})</math> be the set of all функций from a [[Множество|множества]] {{mvar|X}} to real numbers <math>\mathbb R</math>. Because <math>\mathbb R</math> is a [[Поле (алгебра)|поле]], <math>{\mathcal F}(X,{\mathbb R})</math> may be turned into a [[Векторное пространство]] and [[Ассоциативная алгебра|коммутативная алгебра]] over the reals with the following operations:
*<math>f+g: x \mapsto f(x) + g(x)</math> – [[Вектор (геометрия)|сложение векторов]]
*<math>\mathbf{0}: x \mapsto 0</math> – [[нулевой элемент]]
*<math>c f: x \mapsto c f(x),\quad c \in \mathbb R</math> – [[скаляр]]
*<math>f g: x \mapsto f(x)g(x)</math> – [[Поточечная операция|поточечное]] умножение
 
These operations extend to {{не переведено 5|Частично определённая функция|частично определённые функции||partial function}} from {{mvar|X}} to <math>\mathbb R,</math> with the restriction that the partial функции {{math|''f'' + ''g''}} and {{math|''f'' ''g''}} are defined only if the [[Область определения функции|domains]] of {{mvar|f}} and {{mvar|g}} have a nonempty intersection; in this case, their domain is the intersection of the domains of {{mvar|f}} and {{mvar|g}}.
Хотя греки сталкивались со сходимостью, например в {{не переведено 5|Вавилонский метод|вавилонском методе||Babylonian method}} вычисления квадратных корней, у них, похоже, не было концепции, подобной современному понятию предела{{sfn|Stillwell|1989|с=38–39}}. Необходимость концепции предела возникла в 1600-х годах, когда [[Ферма, Пьер|Пьер Ферма]] пытался найти [[угловой коэффициент]] [[Касательная прямая|касательной]] в точке <math>x</math> к графику функции, такой как <math>f(x)=x^2</math>. Используя ненулевую, но почти нулевую величину <math>E</math>, Ферма сделал следующие вычисления:
 
Also, since <math>\mathbb R</math> is an ordered set, there is a [[Частично упорядоченное множество|частичное упорядочение]]
:<math>
*<math>\ f \le g \quad\iff\quad \forall x: f(x) \le g(x),</math>
\begin{align}
on <math>{\mathcal F}(X,{\mathbb R}),</math> which makes <math>{\mathcal F}(X,{\mathbb R}) </math> [[Частично упорядоченное кольцо]].
\text{наклон} & = \frac{f(x+E)-f(x)}{E} \\
& = \frac{(x+E)^2-x^2}{E}\\
& = \frac{x^2+2xE+E^2-x^2}{E} \\
& = \frac{2xE+E^2}{E} = 2x+E = 2x.
\end{align}
</math>
 
== Измеримость ==
Ключевым фактом вышеприведённых вычислений является ненулевое значение <math>E</math>, а тогда можно делить <math>f(x+E)-f(x)</math> на <math>E</math>, но <math>E</math> близко к 0, а потому <math>2x+E</math>, фактически, равно <math>2x</math>{{sfn|Stillwell|1989|с=104}}. Величины, подобные <math>E</math>, называются [[Бесконечно малая и бесконечно большая|бесконечно малыми]]. Проблема в этом вычислении заключается в том, что математики той эры были не в состоянии определить точно величины со свойствами <math> E</math>{{sfn|Stillwell|1989|с=106}}, хотя общей практикой было ''игнорировать'' высокие степени бесконечно малых величин и это, вроде бы, давало корректные результаты.
{{См. также|Борелевская функция}}
[[Сигма-алгебра|<math>\Sigma</math>-алгебры]] [[Борелевская сигма-алгебра|борелевских множеств]] is an important structure on real numbers. If {{mvar|X}} has its σ-algebra and a function {{mvar|f}} is such that the [[прообраз]] {{math|''f'' <sup>−1</sup>(''B'')}} of any борелевское множество {{mvar|''B''}} belongs to that σ-algebra, then {{mvar|f}} is said to be [[Измеримая функция|measurable]]. Measurable функции also form a vector space and an algebra as explained [[#In general|above]].
 
Moreover, a set (family) вещественнозначных функций on {{mvar|X}} can actually ''define'' a σ-algebra on {{mvar|X}} generated by all preimages всех борелевских множеств (или [[Промежуток (математика)|промежутков]] only, it is not important). This is the way how σ-algebras arise in ([[Аксиоматика Колмогорова|Kolmogorov's]]) [[Теория вероятностей| Теория вероятностей|теории вероятностей]], where вещественнозначные функции на [[Пространство элементарных событий|пространстве элементарных событий]] {{math|&Omega;}} are вещественнозначными [[Случайная величина|случайными величинами]].
Проблема возникла заново в конце 1600-х годов при развитии [[Математический анализ|математического анализа]], когда вычисления, такие как у Ферма, становятся важными для вычисления [[Производная функции|производных]]. [[Ньютон, Исаак|Исаак Ньютон]] первым разработал анализ с помощью бесконечно малых величин, которые называл {{не переведено 5|Метод флюксий|флюксиями||Method of Fluxions}}. Он развивал свой метод имея ввиду идею «бесконечно маленького момента времени...»{{sfn|Buckley|2012|с=31-35}}. Позднее, однако, Ньютон отказался от флюксий в пользу теории пропорций, которая ближе к современному <math>\varepsilon\text{–}\delta </math> определению предела{{sfn|Buckley|2012|с=31-35}}. Более того, Ньютон отдавал себе отчёт, что предел отношения стремящихся к нулю величин ''НЕ'' является сам отношением. Он писал:
:Это предельные отношения ... не являются фактическими отношениями предельных величин, а являются пределами ... которые могут быть достигнуты ближе, чем любая заданная величина...
Дополнительно, Ньютон время от времени объяснял предел в терминах, похожих на эпсилон–дельта определение{{sfn|Pourciau|2001|с=18–30}}. [[Лейбниц, Готфрид Вильгельм|Готфрид Вильгельм Лейбниц]] развивал собственные бесконечно малые и и пытался обеспечить для них строгую основу, но был встречен с тревогой некоторыми математиками и философами{{sfn|Buckley|2012|с=31-35}}.
 
== Непрерывность ==
[[Коши, Огюстен Луи|Огюстен Луи Коши]] дал определение предела в терминах более примитивного понятия, которое он назвал ''переменной величиной''. Он никогда не давал определение предела в терминах эпсилон–дельта (Grabiner 1981). Некоторые из доказательств Коши содержат признаки эпсилон–дельта метода. Может ли его подход считаться предвестником подхода Вейерштрасса, это предмет научной дискуссии. Грабинер считает, что да, а вот Шубринг (2005) не согласен{{sfn|Grabiner|1983|с=185–194}}. Накане считает, что Коши и Вейерштрасс дали одно и то же имя различным понятиям предела{{sfn|Nakane|2014|с=51–59}}.
Вещественные числа образуют [[топологическое пространство]] и [[полное метрическое пространство]]. [[Непрерывная функция|Непрерывные]] вещественнозначные функции (which implies that {{mvar|X}} is a topological space) are important in theories [[Общая топология|of topological spaces]] and [[Метрическое пространство|метрических пространств]]. [[Теорема Вейерштрасса о функции на компакте|Теорема об экстремальных значениях]] утверждает, что for any real continuous function on a [[Компактное пространство|компактном пространстве]] its global [[Экстремум|maximum and minimum]] exist.
 
Концепция [[Метрическое пространство|метрического пространства]] itself is defined with вещественнозначной function of two variables, the ''[[Метрическое пространство|metric]]'', which is continuous. The space of {{не переведено 5|Непрерывные функции на компактном хаусдорховом пространстве|||continuous functions on a compact Hausdorff space}} has a particular importance. [[Предел последовательности|пределов последовательностей]] also can be considered as вещественнозначные continuous функции on a special topological space.
Со временем Вейерштрасс и Больцано были признаны как давшие твёрдую опору для математического анализа в виде современного <math>\varepsilon\text{-}\delta</math> определения предела{{sfn|Grabiner|1983|с=185–194}}{{sfn|Cauchy|1823}}. Необходимость ссылки на бесконечно малую величину <math>E</math> исчезла{{sfn|Buckley|2012|с=31-35}} и вычисления Ферма превратились в следующий предел:
 
Continuous функции also form a vector space and an algebra as explained [[#In general|above]], and are a subclass of [[#Measurable|measurable функции]] because any topological space has the σ-algebra generated by open (or closed) sets.
:<math>
\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
</math>
 
== Гладкость ==
Нельзя сказать, что определение свободно от проблем и хотя оно и дало возможность избавиться от бесконечно малых величин, оно потребовало построения [[Вещественное число|вещественных чисел]] [[Дедекинд, Рихард|Рихардом Дедекиндом]] {{sfn|Buckley|2012|с=31-35}}. Нельзя также сказать, что бесконечно малых нет в современной математике, поскольку математики смогли создать бесконечно малые величины как часть систем [[Гипервещественное число|гипервещественных чисел]] или [[Сюрреальные числа|сюрреальных чисел]]. Более того, можно строго развивать математический анализ с такими величинами и они имеют другие использования в математике{{sfn|Tao|2008|с=95–110}}.
{{основная статья|Гладкая функция}}
Real numbers are used as the codomain to define гладкие функции. A domain of a real гладкой функции can be the real coordinate space (which yields a {{не переведено 5| Функции нескольких вещественных переменных |||real multivariable function}}), a [[Топологическое векторное пространство]],<ref>Different definitions of [[Производная функции|производной]] exist in general, but for finite [[Конечномерное пространство|размерностей]] they result in equivalent definitions of classes гладких функций.</ref> an [[Открытое множество|open subset]] of them, or a [[Гладкое многообразие]].
 
Spaces гладких функций also are vector spaces and algebras as explained [[#In general|above]], and are a subclass of [[#Continuous|continuous функции]].
== Неформальное утверждение ==
Возможным неформальным (то есть, интуитивным или приблизительным) определением является «[[Функция (математика)|функция]] {{mvar|f}} стремится к пределу {{mvar|L}} близ точки {{mvar|a}} (в символьном виде, <math> \lim_{x \to a}f(x) = L \, </math>), если мы можем сделать значение функции {{math|''f''(''x'')}} как угодно близким к {{mvar|L}} путём выбора {{mvar|x}} достаточно близко (но исключая) к {{mvar|a}}»{{sfn|Spivak|2008|с=90}}.
 
== Appearances in measure theory ==
Когда мы говорим, что две величины близки (как {{math|''f''(''x'')}} и {{mvar|L}}, или {{mvar|x}} и {{mvar|a}}), мы имеем ввиду, что разница (или [[расстояние]]) между ними мало. Если {{math|''f''(''x'')}}, {{mvar|L}}, {{mvar|x}} и {{mvar|a}} являютмя [[Вещественное число|вещественными числами]], разница/расстояние между двумя числами равны [[Абсолютная величина|абсолютной величине]] [[Вычитание|разности]] двух величин. Таким образом, когда мы говорим, что {{math|''f''(''x'')}} близко к {{mvar|L}}, мы имеем ввиду, что <math>|f(x) - L|</math> мало. Когда мы говорим, что {{mvar|x}} и {{mvar|a}} близки, мы имеем ввиду, что <math>|x - a|</math> мало{{sfn|Spivak|2008|с=96}}.
[[Мера множества|Мера]] множества is a [[Знак (математика)|неотрицательный]] вещественнозначный functional on a σ-algebra of subsets.<ref>Actually, a measure may have values in {{closed-closed|0, +∞}}: см. [[Расширенная числовая прямая]].</ref> [[Lp (пространство)|L<sup>''p''</sup> пространства]] on sets with a measure are defined from aforementioned [[#Measurable|вещественнозначные measurable функции]], although they are actually [[Факторпространство|quotient space]]s. More precisely, whereas a function satisfying an appropriate [[Интеграл|summability condition]] defines an element of L<sup>''p''</sup> space, in the opposite direction for any {{math|''f'' ∈ L<sup>''p''</sup>(''X'')}} and {{math|''x'' ∈ ''X''}} which is not an [[Атом (теория меры)|atom]], the value {{math|''f''(''x'')}} is {{не переведено 5|Вполне определено|не определено||well-definition}}. Though, вещественнозначные L<sup>''p''</sup> spaces still have some of the structure explicated [[#In general|above]]. Each of L<sup>''p''</sup> spaces is a vector space and have a partial order, and there exists a pointwise multiplication «функций» which changes {{mvar|p}}, namely
:<math>\sdot: L^{1/\alpha} \times L^{1/\beta} \to L^{1/(\alpha+\beta)},\quad
0 \le \alpha,\beta \le 1,\quad\alpha+\beta \le 1.</math>
Например, поточечное произведение двух L<sup>2</sup> функций принадлежит L<sup>1</sup>.
 
== Другие приложения ==
Когда мы говорим, что можем сделать значение функции {{math|''f''(''x'')}} как угодно близким к {{mvar|L}}, мы имеем ввиду, что для '''всех''' ненулевых расстояний <math>\varepsilon</math> мы можем обеспечить расстояние между {{math|''f''(''x'')}} и {{mvar|L}} меньше, чем <math>\varepsilon</math>{{sfn|Spivak|2008|с=96}}.
Other contexts where вещественнозначные функции and their special properties are used include [[Монотонная функция|монотонные функции]] (на [[Линейно упорядоченное множество|упорядоченных множествах]]), [[Выпуклая функция|выпуклые функции]] (на векторных и [[Аффинное пространство|аффинных пространствах]]), [[Гармоническая функция|гармонические]] и [[Субгармоническая функция|субгармонические]] функции (на [[Риманово многообразие|римановых многообразиях]]), [[Аналитическая функция|аналитические функции]] (обычно от одной и более вещественных переменных), [[Алгебраическая функция|Алгебраические функциии]] (on real [[Алгебраическое многообразие|algebraic varieties]]), and [[Многочлен]]ы (от одной и более переменных).
 
Когда мы говорим, что мы можем сделать значение функции {{math|''f''(''x'')}} как угодно близким к {{mvar|L}} путём требования к {{mvar|x}} быть достаточно близким к {{mvar|a}}, но не равным {{mvar|a}}, мы имеем ввиду, что для любого ненулевого расстояния <math>\varepsilon</math> есть ненулевое расстояние <math>\delta</math>, такое что, если расстояние между {{mvar|x}} и {{mvar|a}} меньше <math>\delta</math>, то расстояние между {{math|''f''(''x'')}} и {{mvar|L}} меньше <math>\varepsilon</math>{{sfn|Spivak|2008|с=96}}.
 
Неформальный/интуитивный аспект, используемый здесь, заключается в том, что определение требует следующего внутреннего рассуждения (которое обычно перефразируется на языке типа «когда противник/соперник атакует вас с <math>\varepsilon</math>, вы защищаетесь величиной <math>\delta</math>»): Кто-то даёт испытательную величину <math>\varepsilon>0</math> для заданной функции {{mvar|f}}, точки {{mvar|a}} и предела {{mvar|L}}. Нужно ответить величиной <math>\delta>0</math>, такой что из <math>0 < |x - a| < \delta</math> следует <math>|f(x) - L| < \varepsilon</math>. Если можно обеспечить ответ на любую испытательную величину, предел существует{{r|BrMth}}.
 
== Точное утверждение и связанные утверждения ==
 
=== Точное утверждение для вещественных функций ===
Определение в терминах <math>(\varepsilon, \delta)</math> [[Предел функции|предела функции]] следующее{{sfn|Spivak|2008|с=96}}:
 
Пусть <math>f</math> будет [[Вещественная функция|вещественной функцией]], определённой на подмножестве <math>D</math> [[Вещественное число|вещественных чисел]].Пусть <math>c</math> будет [[Предельная точка|предельной точкой]] множества <math>D</math> и пусть <math>L</math> будет вещественным числом. Мы говорим, что
 
: <math> \lim_{x\to c}f(x) = L </math>
 
Если для любого <math> \varepsilon > 0 </math> существует <math> \delta > 0 </math>, такое что для всех <math>x\in D</math>, если <math> 0 < |x-c| < \delta </math>, then <math> |f(x)-L| < \varepsilon</math>{{r|MLT}}.
 
Symbolically:
:<math> \lim_{x \to c} f(x) = L \iff (\forall \varepsilon > 0,\,\exists \ \delta > 0,\,\forall x \in D,\,0 < |x - c| < \delta \ \Rightarrow \ |f(x) - L| < \varepsilon)</math>
 
Если <math>D=[a,b]</math> или <math>D=\mathbb{R}</math>, условие, что <math> c</math> является предельной точкой, может быть заменено на более простое условие, что ''c'' принадлежит ''D'', поскольку замкнутые [[Промежуток (математика)|вещественные интервалы]] и вся вещественная ось являются [[Совершенное множество|совершенными множествами]].
 
=== Точное утверждение для функций между метрическими пространствами ===
 
Определение можно обобщить на функции, отображающие [[метрическое пространство]] в другое метрическое пространство. Эти пространства приходят с функцией, называемой метрикой, которая берёт две точки пространства и возвращает вещественное число, представляющее расстояние между этими двумя точками{{sfn|Rudin|1976|с=30}}. Обобщённое определение{{sfn|Rudin|1976|с=83}}:
 
Предположим, что функция <math>f</math> определена на подмножестве <math>D</math> метрического пространства <math>X</math> с метрикой <math> d_X(x,y)</math> и отображает его в метрическое пространство <math>Y</math> с метрикой <math> d_Y(x,y)</math>. Пусть <math>c</math> будет предельной точкой множеств <math>D</math>, а <math>L</math> будет точкой пространства <math>Y</math>.
 
Мы говорим, что
 
: <math> \lim_{x\to c}f(x) = L, </math>
 
если для любого <math> \varepsilon > 0 </math> существует <math> \delta </math>, такой что для всех <math>x\in D</math> из <math> 0 < d_X(x,c) < \delta </math> следует <math> d_Y(f(x),L) < \varepsilon</math>.
 
Поскольку <math>d(x,y) = |x-y|</math> является метрикой на вещественных числах, можно показать, что это определение обобщает первое определение для вещественных функций{{sfn|Rudin|1976|с=84}}.
 
=== Отрицание точного утверждения ===
 
[[Отрицание|Логическое отрицание]] [[Определение (логика)|определения]] следующее{{sfn|Spivak|2008|с=97}}:
 
Предположим, что функция <math>f</math> определена на подмножестве <math>D</math> метрического пространства <math>X</math> с метрикой <math> d_X(x,y)</math> и отображает его в метрическое пространство <math>Y</math> с метрикой <math> d_Y(x,y)</math>. Пусть <math>c</math> будет предельной точкой множества <math>D</math> и пусть <math>L</math> будет точкой в пространстве <math>Y</math>.
 
Мы говорим, что
 
: <math> \lim_{x\to c}f(x) \neq L </math>
 
если существует <math> \varepsilon > 0 </math>, такой что для всех <math>\delta > 0</math> существует <math>x\in D</math>, такой что <math>0 < d_X(x,c) < \delta</math> и <math>d_Y(f(x),L) > \varepsilon</math>.
 
Мы говорим что <math> \lim_{x\to c}f(x) </math> не существует, если для всех <math>L\in Y \lim_{x\to c}f(x) \neq L </math>.
 
Для отрицания утверждения для вещественных функций , определённых на вещественных числах, просто берём <math>d_Y(x,y) = d_X(x,y)= |x-y|</math>.
 
=== Точное утверждение для предела на бесконечности ===
Точное определение для предела на бесконечности следующее:
 
Пусть функция <math>f</math> будет вещественной функцией, определённо на подмножестве <math>D</math> множества вещественных чисел и это подмножество содержит произвольно большие числа. Мы говорим, что
 
: <math> \lim_{x\to\infty}f(x) = L </math>
 
если для любого <math>\varepsilon > 0</math> существует вещественное число <math>N > 0 </math>, такое что для всех <math>x\in D</math> из условия <math>x > N</math> вытекает <math>|f(x) - L| < \varepsilon</math>{{sfn|Stewart|2016|с=Section 3.4}}.
 
Можно дать аналогичное определение и для произвольных метрических пространств.
 
== Примеры ==
===Пример 1===
Покажем, что
 
: <math>\lim_{x\to 0} x\sin{\left(\frac{1}{x}\right)} = 0
</math>.
 
Пусть значение <math>\varepsilon > 0</math> задано. Нам нужно найти <math>\delta >0 </math>, такое что из <math>|x-0| < \delta</math> следует <math>\left|x\sin\left(\frac{1}{x}\right) - 0\right| < \varepsilon </math>.
 
Поскольку [[синус]] ограничен сверху величиной 1, а снизу величиной −1,
 
<math>
\begin{align}
\left|x\sin{\left(\frac{1}{x}\right)} - 0\right| &= \left|x\sin{\left(\frac{1}{x}\right)}\right|
= |x|\left|\sin{\left(\frac{1}{x}\right)}\right|
\leqslant |x|.
\end{align}
</math>
 
Таким образом, если мы примем <math>\delta = \varepsilon</math>, то из <math>|x| =|x-0| < \delta</math> следует <math>\left|x\sin{\left(\frac{1}{x}\right)} - 0\right| \leqslant |x| < \varepsilon </math>, что завершает доказательство.
 
=== Пример 2 ===
Докажем, что
 
: <math> \lim_{x\to a} x^2 = a^2</math>
для любого вещественного числа <math>a</math>.
 
Пусть значение <math>\varepsilon>0</math> задано. Мы найдём <math>\delta > 0</math>, такое что из <math>|x-a|<\delta</math> следует <math>|x^2-a^2|<\varepsilon </math>.
 
Начнём с разложения на множители:
 
: <math> |x^2-a^2| = |(x-a)(x+a)|=|x-a||x+a|.</math>
 
Понимаем, что множитель <math>|x-a|</math> ограничен величиной <math>\delta</math>, так что мы предполагаем границу 1 и впоследствии можем выбрать что-то меньшее <math>\delta</math>{{sfn|Spivak|2008|с=95}}
 
Таким образом, мы полагаем <math> |x-a| < 1 </math>. Поскольку <math> |x| - |y| \leqslant |x-y| </math> выполняется для вещественных чисел <math>x</math> и <math>y</math>, мы имеем
 
: <math> |x| - |a| \leqslant |x-a| < 1.</math>
 
А тогда,
 
: <math> |x| < 1 + |a|.</math>
 
Согласно [[Неравенство треугольника|неравенству треугольника]],
 
: <math> |x+a| \leqslant |x| + |a| < 2|a| + 1.</math>
 
Если теперь предположить, что
 
:<math> |x-a| < \frac{\varepsilon}{2|a| +1}</math>
 
получим
 
:<math>|x^2-a^2| <\varepsilon. </math>
 
Теперь выберем
: <math> \delta = \min{\left\{ 1,\frac{\varepsilon}{2|a| +1}\right\} }.</math>
 
Теперь, есди <math> |x-a|<\delta</math>, получаем
 
: <math>
\begin{align}
|x^2-a^2| &= |x-a||x+a|
< \frac{\varepsilon}{2|a| +1}(|x+a|)
< \frac{\varepsilon}{2|a| +1}(2|a|+1)
=\varepsilon.
\end{align}
</math>
 
Таким образом, мы нашли <math>\delta</math>, такой что из <math> |x-a| < \delta</math> следует <math>|x^2-a^2| <\varepsilon </math>. Тем самым мы показали, что
: <math> \lim_{x\to a} x^2 = a^2</math>
для любого вещественного числа <math>a</math>.
 
=== Пример 3 ===
Давайте докажем, что
 
: <math>\lim_{x \to 5} (3x - 3) = 12.</math>
 
Это легко показать, используя графическое понимание предела, и это даёт строгий базис для введения в доказательство. Согласно формальному определению выше утверждение о пределе верно тогда и только тогда, когда ограничение отклонения <math>x</math> на величину <math>\delta</math> от точки <math>c</math> неминуемо ограничивает отклонение <math>f(x)</math> от <math>L</math> до величины <math>\varepsilon</math>. В нашем конкретном случае это означает, что утверждение верно тогда и только тогда, когда ограничиваем отклонение <math>x</math> на <math>\delta</math> от значения 5 неизбежно ограничивает
 
:<math>3x - 3</math>
 
на <math>\varepsilon</math> от значения 12. Чтобы показать это, нужно продемонстрировать, как <math>\delta</math> и <math>\varepsilon</math> должны быть связаны, чтобы требование выполнялось. Мы хотим показать математически, что
 
:<math> 0 < | x - 5 | < \delta \ \Rightarrow \ | (3x - 3) - 12 | < \varepsilon . </math>
 
Подводя общие члены, вынося константу 3 и деля на неё в правой части импликации, получаем
 
:<math> | x - 5 | < \varepsilon / 3 ,</math>
 
что немедленно даёт требуемый результат, если выберем
 
:<math> \delta = \varepsilon / 3 .</math>
 
Таким образом, доказательство завершено. Ключевой момент доказательства заключается в возможности выбора границ <math>x</math>, а потом в возможности перейти к соответствующим границам <math>f(x)</math>. В нашем случае это было связано с множителем 3, который появляется как следствие коэффициента наклона 3 прямой
 
:<math> y = 3x - 3 .</math>
 
== Непрерывность ==
Говорят что функция ''f'' [[Непрерывное отображение|непрерывна]] в точке ''c'', если она определена в ''c'' и её значение в ''c'' равно пределу ''f'' при стремлении ''x'' к ''c'':
 
: <math>\lim_{x\to c} f(x) = f(c).</math>
<math>(\varepsilon, \delta)</math>-определение непрерывной функции можно получить из определения предела путём замены <math>0<|x-c|<\delta</math> на <math>|x-c|<\delta</math>, чтобы обеспечить, что ''f'' определена в ''c'' и это значение совпадает с пределом.
 
Говорят, что функция ''f'' непрерывна на интервале ''I'', если она непрерывна в любой точке ''c'' интервала ''I''.
 
== Сравнение с определением через бесконечно малые ==
{{не переведено 5|Кейслер, Ховард Джером| Ховард Джером Кейслер ||Howard Jerome Keisler}} доказал, что [[Гипервещественное число|гипервещественное]] {{не переведено 5|Нестандартный математический анализ|определение предела||Non-standard calculus}} уменьшает сложность по [[квантор]]ам на два квантора{{sfn|Keisler|2008|с=151–170}}. А именно, <math>f(x)</math> сходится к пределу ''L'' при стремлении <math>x</math> к ''a'' тогда и только тогда, когда значение <math>f(x+e)</math> бесконечно близко к ''L'' [[Квантор всеобщности|для любого]] бесконечно малого ''e''. (См. {{не переведено 5|Микронепрерывность|||Microcontinuity}} для связанных определений непрерывности, фактически принадлежащих [[Коши, Огюстен Луи|Коши]].)
 
Учебники, по исчислению бесконечно малых, основанные на подходе [[Робинсон, Абрахам|Робинсона]], дают определения непрерывности, производной и интеграла в терминах бесконечно малых величин. Когда понятия, такие как непрерывность, всесторонне объяснены через микронепрерывность, подход эпсилон–дельта также представляется. Карел Хрбачек считает, что определения непрерывности, производной и интегрирования в стиле нестандартного анализа Робинсона должны основываться на методе <math>\varepsilon{-}\delta</math>, чтобы покрыть также нестандартные входные значения{{sfn|Hrbacek|2007}}. Блащик возражает, считая, что {{не переведено 5|микронепрерывность|||Microcontinuity}} полезна при разработке прозрачного определения равномерной непрерывности и считает критицизм Хрбачека «неясными жалобами»{{sfn|Błaszczyk, Katz, Sherry|2012|с=43–74}}. Хрбачек предлагает альтернативный нестандартный анализ, который (в отличие от анализа Робинсона) имеет несколько «уровней» бесконечно малых величин, так что пределы на одном уровне могут быть определены в терминах бесконечно малых величин следующего уровня{{sfn|Hrbacek|2009}}.
 
== См. также ==
* [[Теория функций вещественной переменной]]
* [[Непрерывное отображение]]
* [[Дифференциальное уравнение в частных производных|Дифференциальные уравнения в частных производных]], a major user вещественнозначных функций
* [[Предел последовательности]]
* [[Норма (математика)]]
* [[Теорема о двух милиционерах]]
* [[Скаляр]]
 
==Примечания==
{{примечания|2|refs=}}
<ref name=BrMth>{{Cite web|title=Epsilon-Delta Definition of a Limit {{!}} Brilliant Math & Science Wiki|url=https://brilliant.org/wiki/epsilon-delta-definition-of-a-limit/|access-date=2020-08-18|website=brilliant.org|language=en-us}}</ref>
<ref name=MLT>{{Cite web|date=2017-04-21|title=1.2: Epsilon-Delta Definition of a Limit|url=https://math.libretexts.org/Bookshelves/Calculus/Book%3A_Calculus_(Apex)/01%3A_Limits/1.02%3A_Epsilon-Delta_Definition_of_a_Limit|access-date=2020-08-18|website=Mathematics LibreTexts|language=en}}</ref>
 
}}
==Литература==
{{refbegin|colwidth=30em}}
* {{cite book
*{{статья
|last=Apostol
|заглавие=Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus
|first=Tom M.
|автор=Judith V. Grabiner
|date=1974
|ref=Grabiner
|изданиеtitle=The American Mathematical Monthly Analysis
|edition=2nd
|год=1983
|publisher=Addison–Wesley
|месяц=March
|isbn=978-0-201-00288-1
|том=90
|страницы=185–194
|ссылка=http://www.mr-ideahamster.com/classes/assets/a_evepsilon.pdf
|archive-url=https://www.webcitation.org/5gVUmZmxc?url=http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma002.pdf
|archive-date=2009-05-04
|access-date=2009-05-01
|doi=10.2307/2975545
|выпуск=3
|jstor=2975545
}}
*{{статья
|автор= A.-L. Cauchy
|ref= Cauchy
|заглавие=Résumé des leçons données à l'école royale polytechnique sur le calcul infinitésimal
|место= Paris
|год=1823
|ссылка= http://math-doc.ujf-grenoble.fr/cgi-bin/oeitem?id=OE_CAUCHY_2_4_9_0
|часть= Septième Leçon – Valeurs de quelques expressions qui se présentent sous les formes indéterminées <math>\frac{\infty}{\infty}, \infty^0, \ldots</math> Relation qui existe entre le rapport aux différences finies et la fonction dérivée
|ссылка часть=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k90196z/f45n5.capture44].
|archive-url = https://www.webcitation.org/5gVUmywgY?url=http://math-doc.ujf-grenoble.fr/cgi-bin/oeitem?id=OE_CAUCHY_2_4_9_0
|archive-date = 2009-05-04
|access-date = 2009-05-01
}}
*{{книга
|автор=Gerald Folland
|ref=Stillwell
|ref=Folland
|автор=John Stillwell
|заглавие=MathematicsReal Analysis: Modern Techniques and itsTheir historyApplications
|издание=Second Edition
|ссылка=https://archive.org/details/mathematicsitshi0000stil|url-access=registration
|издательство=John Wiley & Sons, Inc.
|год=1989
|год=1999
|издательство=Springer-Verlag
|isbn=0-471-31716-0
|место=New York
|isbn=978-1-4899-0007-4
|ссылка часть=https://archive.org/details/mathematicsitshi0000stil/page/38
|страницы=38–39
}}
**Перевод: {{книга
|заглавие=Principles of Mathematical Analysis
|автор=Джон Стилвелл
|заглавие=Математика и ее история
|место=Москва, Ижевск
|год=2004
|издательство=Институт компьютерных исследований
}}
*{{книга
|ref=Buckley
|автор=Benjamin Lee Buckley
|заглавие=The continuity debate : Dedekind, Cantor, du Bois-Reymond and Peirce on continuity and infinitesimals
|год=2012
|isbn=9780983700487
}}
*{{статья
|заглавие=Newton and the Notion of Limit
|автор=B. Pourciau
|ref=Pourciau
|издание=Historia Mathematica
|том=28
|выпуск=1
|страницы=18–30
|год=2001
|doi=10.1006/hmat.2000.2301
}}
*{{статья
|автор=Michiyo Nakane
|ref=Nakane
|заглавие=Did Weierstrass's differential calculus have a limit-avoiding character? His definition of a limit in <math>\varepsilon-\delta</math> style
|издание=BSHM Bull
|выпуск=29
|год=2014
}}
*{{книга
|ref=Tao
|автор=Terence Tao
|заглавие=Structure and randomness : pages from year one of a mathematical blog
|год=2008
|издательство=American Mathematical Society
|место=Providence, R.I.
|isbn=978-0-8218-4695-7
}}
*{{книга
|ref=Spivak
|автор=Michael Spivak
|заглавие=Calculus
|ссылка=https://archive.org/details/calculus4thediti00mich
|год=2008
|издательство=Publish or Perish
|место=Houston, Tex.
|isbn=978-0914098911
|ссылка часть=https://archive.org/details/calculus4thediti00mich/page/90
|страницы=90
|издание=4th
}}
*{{книга
|ref=Rudin
|автор=Walter Rudin
|издательство=McGraw-Hill
|заглавие=Principles of Mathematical Analysis
|издательство= McGraw-Hill Science/Engineering/Math
|год=1976
|isbn= 978-00705423580-07-054235-8
|издание=3rd
|ссылка чать=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi/page/30
|место=New York
|страницы=30
|ссылка=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi|url-access=registration
}}
** Перевод: {{книга
|автор=Рудин У.
|заглавие=Основы математического анализа
|ответственный=Перевод В. П. Хавина
|издание=второе
|издательство= «Мир»
|место=Москва
|год=1976
|место=Москва
}}
*{{книга
|заглавие = Calculus
|издание= 8
|автор=James Stewart
|ref=Stewart
|издательство=Cengage
|год=2016
|часть=Section 3.4
}}
*{{статья
|ref=Keisler
|автор=H. Jerome Keisler
|часть=Quantifiers in limits
|заглавие=Andrzej Mostowski and foundational studies
|издательство=IOS, Amsterdam
|год=2008
}}
*{{статья
|автор=Piotr Błaszczyk, Mikhail Katz, David Sherry
|ref=Błaszczyk, Katz, Sherry
|arxiv=1202.4153
|doi=10.1007/s10699-012-9285-8
|издание= [[Foundations of Science]]
|страницы=43–74
|заглавие=Ten misconceptions from the history of analysis and their debunking
|том=18
|год=2012
|bibcode = 2012arXiv1202.4153B
|s2cid = 119134151
}}
*{{книга
|ref=Hrbacek
|автор=Hrbacek K.
|ответственный=Van Den Berg|editor-first=I.|editor2-last=Neves|editor2-first=V.
|часть=Stratified Analysis?
|заглавие=The Strength of Nonstandard Analysis
|издательство=Springer
|год=2007
}}
*{{статья
|ref=Hrbacek
|автор=Hrbacek K.
|заглавие=Relative set theory: Internal view
|издание=Journal of Logic and Analysis
|год=2009
|том=1
|ссылка=http://logicandanalysis.org/index.php/jla/article/view/25/17
}}
{{refend}}
 
== Ссылки ==
== Дополнительная литература ==
{{MathWorld |title=Real Function |id=RealFunction}}
* {{книга
|last=Grabiner
|first=Judith V.
|заглавие=The Origins of Cauchy's Rigorous Calculus
|издательство=Courier Corporation
|год=1982
|isbn=978-0-486-14374-3
|ссылка=https://books.google.com/books?id=XuFcx-laQmIC
}}
* {{книга
|заглавие=Conflicts Between Generalization, Rigor, and Intuition: Number Concepts Underlying the Development of Analysis in 17th–19th Century France and Germany
|first=Gert
|last=Schubring
|издательство=Springer
|год=2005
|isbn=978-0-387-22836-5
|ссылка=https://books.google.com/books?id=rMWe3okqPOcC }}
 
{{Разделы математики|state=collapsed}}